丹东市2016年高三总复习质量测试（二）

数学（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若集合
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）若复数
是纯虚数，则实数

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）若
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）设
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）把“正整数
除以正整数
后的余数为
”

记为
，例如
．

执行右边的该程序框图后，输出的
值为

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）已知定义域为
的函数
不是偶函数，

则下列命题一定为真命题的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）已知
表示两个不同的平面，
表示两条不同的直线，给出下列两个命题：

①若
，则“
”是“
”的充分不必要条件；

②若
，则“
”是“
且
”的充分且必要条件．

则判断正确的是

（A）①是真命题②是假命题 （B）①是假命题②是真命题

（C）①②都是真命题 （D）①②都是假命题

（9）如图，半径为2的圆
与直线
相切于点
，

射线
从
出发，绕点
逆时针方向转到

，旋转过程中，
与交圆
于点
，

设
，弓形
的面积
，

那么
的图象大致是



（A） （B） （C） （D）

（10）已知点
是抛物线
：
与圆
：
在第一象限内的公共点，且
到
的焦点
距离是
．若
上一点
到其准线距离与圆心
距离之和的最小值是
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画

出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所

有顶点都在球
表面上，则球
的表面积是

（A）

（B）

（C）

（D）

（12）若
是定义在
上的单调递减函数，且
，则下列结论正确的是

（A）
（B）当且仅当
时，

（C）
（D）当且仅当
时，

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）
的值是 ．

（14）已知向量
，
，
满足

，
，则向量
与向量
的夹角是 ．

（15）
的展开式中
项的系数等于 ．（用数字作答）

（16）若△
的
边上的高
，则
的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
，已知
．

（Ⅰ）求
的通项公式
；

（Ⅱ）求证：
．

（18）（本小题满分12分）

为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．

（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．

平均车速超过

100km/h人数

平均车速不超过

100km/h人数

合计



男性驾驶员人数









女性驾驶员人数









合计









（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列和数学期望．

参考公式与数据：

，其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





（19）（本小题满分12分）

直三棱柱
的所有棱长都相等，点
是棱
中点，点
在棱
上，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

椭圆
：
的离心率为
，
为
的右焦点，
，直线
的斜率为
．

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）设
是
上一点，从坐标原点
向圆
：
作两条切线，分别与
交于
，
两点，直线
，
的斜率分别是
，
，求证：

（i）
；（ii）
是定值．

（21）（本小题满分12分）

过点
作曲线
的切线
．

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）若
，
是直线
上的两个不同点，求证：
．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，将曲线
：
上的所有点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线
；在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程是
．

（Ⅰ）写出曲线
的参数方程和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离
最大，并求出此最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）当
时，
，求实数
的取值范围．

丹东市2016年高三总复习质量测试（二）

数学（理科）答案与评分参考

一、选择题：

（1）D （2）A （3）B （4）C （5）D （6）B

（7）C （8）A （9）A （10）C （11）C （12）A

二、填空题：

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）因为
，所以
，所以
．

因为
，所以
，因此
是等比数列．

当
时，
，因为
，所以
．

所以
的通项公式
． …………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，
，
，

所以
，

即
． …………（12分）

（18）解：

（Ⅰ）

平均车速超过100km/h人数

平均车速不超过100km/h人数

合计



男性驾驶员人数

40

15

55



女性驾驶员人数

20

25

45



合计

60

40

100



因为
，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关． …………（6分）

（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为
．

可取值是0,1,2,3，
，有：

，

，

，

，

分布列为

0

1

2

3
















． …………（12分）

（19）方法1：

（Ⅰ）设
为
的中点，则
，从而
，分别以


所在直线为
轴，建立空间直角坐标系
．

设三棱柱
的棱长为
，则

，
，
，设
，
．

因为
，所以
，
，所以
．…………（6分）

（Ⅱ）
，
，设平面
的法向量为
，则
，可得平面
的一个法向量为
，同理可得平面
的一个法向量为
，
．

经观察二面角
为钝二面角，所以二面角
的余弦值为