东北育才学校高中部2016届高三第五次模拟数学试题（文科）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1．已知集合A={1，2}，B={1，m，3}，如果A∩B=A，那么实数m等于（　　）

A．﹣1 B．0 C．2 D．4

2．已知命题P：?x∈R，ex﹣x﹣1＞0，则￢P是（　　）

A．?x∈R，ex﹣x﹣1＜0 B．?x0∈R，
﹣x0﹣1≤0

C．?x0∈R，
﹣x0﹣1＜0 D．?x∈R，ex﹣x﹣1≤0

3．已知复数z，“z+
=0”是“z为纯虚数”的（　　）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也不必要条件

执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，

则输入的x应为（　　）

A．﹣2 B．16 C．﹣2或8 D．﹣2或16

5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几

何体的体积等于（　　）

A．10cm3 B．20cm3　 C．30cm3 D．40cm3

已知
是函数
的一个极大值点，

则
的一个单调递减区间是

A．
B．
C．
D．

7．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且3a1，
，2a2成等差数列，则
等于（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

8．函数
的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（　　）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

9．已知不等式组
所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（　　）

A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0

已知正实数m，n满足：m+n=1，且使
取得最小值，若曲线
过点
，则
的值等于

A -1 B
C 2 D 3

11．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；

则肯定进入夏季的地区有（　　）

A．0个 B． 1个 C．2个 D．3个

12．设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（
）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为（　　）

A．（0，
） B．（0，
） C．（
，
） D．（
，
）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为　　　　　　．

14．若非零向量
，
，
满足
+2
+3
=
，且
?
=
?
=
?
，则
与
的夹角为　　　　　　．

15．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线
的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e?（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e?（　　　　　　）=sinC．

16．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭，如果函数f（x）=﹣
在R上封闭，则b﹣a=　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：

分组

频数

频率



（3.9，4.2]

3

0.06



（4.2，4.5]

6

0.12



（4.5，4.8]

25

x



（4.8，5.1]

y

z



（5.1，5.4]

2

0.04



合计

n

1.00





（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；

（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．

（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；

（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．

19．设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量
，
且
，

（1）求tanA?tanB的值；

（2）求
的最大值．

20．如图，F是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点，

O是坐标原点，|OF|=
，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0

两点，△OP0Q0的面积为
．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若直线l与上下半椭圆分别交于点P、Q，与x轴交于点M，且|PM|=2|MQ|，求△OPQ的面积取得最大值时直线l的方程．

21．设函数f（x）=c lnx+
x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．

（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；

（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分.

22．（本题满分10分）选修
：几何证明选讲

如图所示，
为圆
的切线，
为切点,
交圆
于
两点，
，

的角平分线与
和圆
分别交于点
和
.

（Ⅰ）求证
；

（Ⅱ）求
的值.

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴.已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
交于
两点，求弦长
.

24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，
的最大值为
，正数
满足
．

(Ⅰ)求
；

(Ⅱ)是否存在
，使得
？并说明理由．

东北育才学校高中部高三第五次模拟数学试题（文科）答案

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分．

C B B D B BD A A B C B

二．填空题（共4小题）

13,36 14,
15, 16,6

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17, 【解答】解：（I）由表可知，样本容量为n，

由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则
，得n=50

由
，解可得，x=50；

y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14，
，

（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．

由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；

设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；

P（A）=
=
，

故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为
．

18, 【解答】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B1B．

∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F?平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，∴B1F⊥FD．

∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）解：∵AD⊥面B1DF，
，

又
，CD=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴
．

∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

∴
．

19, 【解答】解：（1）由
，得
．…（2分）

即
，

亦即 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），…（4分）

所以
．…（6分）

（2）因
，…（8分）

而
，

所以，tan（A+B）有最小值
，…（10分） 当且仅当
时，取得最小值．

又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值
，故
的最大值为

20,【解答】解：（1）由题意可得c=
，

将x=c代入椭圆方程可得y=±b
=±
，

即有△OP0Q0的面积为
|PQ|?c=
，

即
=
，且a2﹣b2=5，解得a=3，b=2，即有椭圆方程为
+
=1；

（2）设M（t，0），且
＜1，即﹣3＜t＜3．

直线PQ：x=my+t，代入椭圆方程，

可得（4m2+9）y2+8mty+4t2﹣36=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=﹣
，y1y2=
＜0，

由|PM|=2|MQ|，可得
=2
，即有﹣y1=2y2，代入韦达定理可得，

t2=
，即有m2=
，即有1＜t2＜9．

则△OPQ的面积为S=
|t|?|y1﹣y2|=
|t|?

=6|t|?
=

，

当t2=5＜9，此时m2=
，△OPQ的面积取得最大值，且为
×4=3．

故所求直线方程为x=±
y﹣
或x=±
y+
．

21,【解