凯里一中洗马河校区2015-2016学年度第二学期

高三年级第一次考试数学（理）试卷

命题： 审题： 2016年2月20日

第Ⅰ卷

选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．为了解凯里地区的中小学生视力情况，拟从凯里地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到凯里地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （ ）

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样 D．系统抽样

4．命题“
”的否定是（ ）

A．
B．

C．
D．

5．
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知实数x，y满足
，则z＝4x＋y的最大值为（ ） A．10 B．2 C．8 D．0

7． 执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )

A.－
B.
C.－
D.

8.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）

A．4 B．6 C．
D．

9.以点
为圆心且与直线
相切的圆的方程是（ ）

A.
B．

C．
D．

10．如图，矩形
中，点
在
轴上，点
的坐标为
．且点
与点
在函数
的图像上．若在矩形
内随机取一点，则该点取自空白部分的概率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设F为抛物线
的焦点，过F且倾斜角为
的

直线交于C于
两点，则
=（ ）

A．
B．12 C．6 D．

12．已知函数
=
，若|
|≥
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.[-2,1] D.[-2,0]

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．若
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .

14、在等差数列
中,已知
,则
.

15. 已知函数
,其中a为实数,
为
的导函数,若
,则a的值为 ．

16.已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点
，点
是两曲线的一个交点，且
轴，则双曲线的离心率为

三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．(本小题满分12分)等差数列
中，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）设
，求
的值．

18、(本小题满分12分) 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（1）求三种粽子各取到1个的概率；

（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望

19．(本小题满分12分)在三棱锥P﹣ABC中．侧梭长均为4．底边AC=4．AB=2，BC=2
，D． E分别为PC．BC的中点．

〔I） 求证：平面PAC⊥平面ABC．

（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积；

（Ⅲ）求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．

(本小题满分12分) 在平面直角坐标系
中，已知椭圆

的左焦点为
,且点
在
上,

(1)求椭圆
的方程.

(2)设直线
同时与椭圆
和抛物线

相切，求直线
的方程.

21. (本小题满分12分)

已知函数
在
处取得极值.

确定
的值；(2)讨论函数
的单调性.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．

（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．

（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3， 求线段CE的长．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直线坐标系
中，曲线C1：
（t为参数，t
0）其中0



.在以O为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
，C3：
。

求
与
交点的直角坐标；

（2）若
与
相交于点
，
与
相交于点
，求
的最大值.

24.（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
的解集包含
，求
的取值范围.

凯里一中洗马河校区2015-2016学年度第二学期

高三年级第一次考试数学（理）试卷答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

C

A

B

C

D

D

C

A

B

D



填空题

13. 20 14. 20 15. 3 16.

解答题

17.试题解析：（I）设等差数列
的公差为
．

由已知得
，

解得
．

所以
．

18.

19、解答： 证明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4，

取AC的中点O，连接OP，OB，可得：OP⊥AC，

，

∵
，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC为Rt△．

∴OB=OC=2，PB2=OB2+OP2，∴OP⊥OB．

又∵AC∩BO=O且AC、OB?面ABC，∴OP⊥平面ABC，

又∵OP?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）

（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP=
．

直角三角形ABC的面积S=
．

∴VP﹣ABC=
=
．

（Ⅲ）方法一：过点E 作EH⊥AC于H，过点H作HM⊥AD于M，

连接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH?平面ABC，

∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂线定理），

∴∠EMH即为所求的二面角的平面角．

∵E，D分别为中点，EH⊥AC，

∴在RT△HEC中：
，
，

∴

在RT△HMA中，
．

在RT△HME中，
．

∴
．

20.(1)由题意得c=1,b=1,

∴椭圆C1的方程为

(2)由题意得直线的斜率一定存在且不为0,设直线l方程为y=kx+m.

因为椭圆C1的方程为

∴

消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

直线l与椭圆C1相切，

∴Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0.

即2k2-m2+1=0. ①

直线l与抛物线C2：y2=4x相切,

则

消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0.

∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1. ②

由①②解得

所以直线l的方程

21.解：(()对
求导得
，

因为
在
处取得极值，所以
，

即
，解得
.

(Ⅱ)由(()得
，

故

令
，解得
.

当
时，
，故
为减函数；

当
时，
，故
为增函数；

当
时，
，故
为减函数；

当
时，
，故
为增函数；

综上知
在
，
内为减函数，在
和
内为增函数.

22.（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，

∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°

∴∠C=∠AGD，

∴∠C+∠DGE=180°，

∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）

（Ⅱ）∵EG?EA=EB2，EG=1，GA=3，

∴EB=2，

又∵F为EB的三等分点且靠近E，

∴EF＝2，

23.（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为
曲线C3的直角坐标方程为

联立
解得
或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为

因此A的极坐标为
B的极坐标为
所以
当
时，
取得最大值，最大值为4.

24.解：（1）当
时，

或
或

或

故不等式
的解集为
或

（2）原命题
在
上恒成立

在
上恒成立
在
上恒成立

所以
的取值范围为

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/