连江尚德中学2016届高三3月模拟检测（文科）数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

已知集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）

若纯虚数
满足
，则实数
（A）0 （B）
或1 （C）
（D）1

在数列
中，
，则
（A）
（B）1 （C）2 （D）4

已知双曲线的渐近线方程为
，且经过点
，则该双曲线的标准方程为（A）
（B）
（C）
（D）

已知函数
是偶函数，且
，则
（A）
（B）1 （C）
（D）5

已知
，且
，则
的值为（A）
（B）
（C）
（D）

设
，则“
”是“
的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

执行如图程序框图，如果输入
，那么输出的
的值为（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

函数
的部分图像如图所示，则
的对称轴为（A）
（B）
（C）
（D）

设抛物线
的焦点为
，
是抛物线上一点，若直线
的倾斜角为
，则
（A）
（B）3 （C）
（D）3或8

某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是（A）
（B）
（C）
（D）


已知函数
则方程
恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

已知
，若
，则实数
　　　．

若实数
满足约束条件
则
的最大值为　　　　　．

一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为　　　　．

若
的内角满足
，则
的最小值是　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（本小题满分12分）已知等差数列
的前
项和为
，且
．（Ⅰ）求
的通项公式；（Ⅱ）若
，，求数列
的前
项和
．

（本小题满分12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（Ⅱ）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，得到数据如下表：请你根据已知条件完成下列2×2列联表：

数学尖子生

非数学尖子生

合计



男生









女生









合计





100



并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



（参考公式：
，其中
）

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，底面
是正三角形，点
是
的中点，
．（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）试在棱
上找一点
，使得
，并说明理由。

（本小题满分12分）已知直线
，半径为
的圆
与
相切，圆心
在
轴上且在直线
的上方．（Ⅰ）求圆
的标准方程；

（Ⅱ）过点
的直线与圆
交于
两点（
在
轴上方），问在
轴正半轴上是否存在点
，使得
轴平分
？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）已知函数
（
）。（Ⅰ）当
时，求
的最小值；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，在直角
中，
，
为
边上异于
的一点，以
为直径作
，分别交
于点
．（Ⅰ）证明：
四点共圆；（Ⅱ）若
为
中点，且
，求
的长．

（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线
的极坐标方程为
，定点
，
是圆锥曲线
的左、右焦点．直线
经过点
且平行于直线
．（Ⅰ）求圆锥曲线
的直角坐标方程和直线
的参数方程；（Ⅱ）若直线
与圆锥曲线
交于
两点，求
．

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数
（
）．（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若函数
的最小值为5，求
的值．

参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B．

【解析】因为
，所以

．应选B．

（2）若纯虚数
满足
，则实数
（A）0 （B）
或1 （C）
（D）1

【答案】A．

【解析】因为
为纯虚数，所以
．应选A．

（3）在数列
中，
，则
（A）
（B）1 （C）2 （D）4

【答案】A．

【解析】由已知，
，所以
是公比为2的等比数列，所以
．应选A．

（4）已知双曲线的渐近线方程为
，且经过点
，则该双曲线的标准方程为（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C．

【解析】易知
，
的渐近线方程为
，淘汰选项A、D；将
代入选项B，不满足方程，淘汰选项B．应选C．

（5）已知函数
是偶函数，且
，则
（A）
（B）1 （C）
（D）5

【答案】D．

【解析】因为函数
是偶函数，所以
，令
得，
，所以
．应选D．

（6）已知
，且
，则
的值为（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A．

【解析】因为
，所以
，所以
．又因为
，所以
，故

．应选A．

（7）设
，则“
”是“
的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】C．

【解析】因为函数
在
上为增函数，所以

，即
为
的充要条件．应选C．

（8）执行如图程序框图，如果输入
，那么输出的
的值为（A）2（B）3（C）4（D）5

【答案】B．

【解析】已知输入
的值为4，故可列表如下：

初始值

第1次

第2次

第3次


，终止循环，输出
值为3．



是否满足




，满足


，满足


，满足







0













1













0











由上表可知，应选B．

（9）函数
的部分图像如图所示，则
的对称轴为（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C．

【解析】由图可知，
，故
，即
是
的一条对称轴．又因为
每两相邻的对称轴距离均为
，所以
的对称轴为
．应选C．

（10）设抛物线
的焦点为
，
是抛物线上一点，若直线
的倾斜角为
，则
（A）
（B）3 （C）
（D）3或8

【答案】C．

【解析】法一、设准线为
，
轴
，
，
为垂足，设
．由抛物线定义得，
，所以
．因为
轴，所以
，

当点P在第一象限时，
．在
中，
，所以
，则
，解得
．所以
．

当点P在第四象限时，
．在
中，
，所以
，则
，解得
．所以
．应选C．

法二、设准线为
，
轴
，
，
为垂足，设
．过点P作
轴于点M，则
，所以
，由抛物线定义得，

（1）当点P在第一象限时，
，所以

（2）当点P在第四象限时，
，所以
应选C．

（11）某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是（A）
（B）
（C）
（D）


【答案】C．

【解析】由三视图可知，该几何体是高为4，底面是斜边为4的等腰直角三角形的三棱锥（如图粗线部分所示），通过计算可得
不是该几何体的棱长．应选C．

（12）已知函数
则方程
恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B．

【解析】作出
的图像如右所示，易知函数
与
相切，结合图像可知，当

时，函数
与直线
有两个交点，即方程
恰有两个不同的实根．应选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）已知
，若
，则实数
　　　．

【答案】2．

【解析】由已知，
．因为
，所以

，解得
．应填2．

（14）若实数
满足约束条件
则
的最大值为　　　　　．

【答案】12．

【解析】作出可行域如图所示，由图可知，当
经过点
时，直线纵截距最大，此时
取得最大值
．应填12．

（15）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为　　　　．

【答案】
．

【解析】依题意，该四面体是棱长为
的正四面体，将其放置到正方体中考虑（如图所示），其外接球与正方体的外接球相同．易得正方体的棱长为1，其体对角线长即为外接球的直径，则

，所以该球的表面积为
．应填
．

（16）若
的内角满足
，则
的最小值是　　　．

【答案】
．

【解析】由正弦定理可得
，所以

，当且仅当
时取等号，所以
．应填
．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）已知等差数列
的前
项和为
，且
．（Ⅰ）求
的通项公式；（Ⅱ）若
，，求数列
的前
项和
．

【解析】（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，则

3分

解得
， 4分

所以
，即
． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

7分

， 9分

当
为奇数时，

； 10分

当
为偶数时，

． 11分

综上，
（或
） 12分

（18）（本小题满分12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（Ⅱ）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，得到数据如下表：请你根据已知条件完成下列2×2列联表：

数学尖子生

非数学尖子生

合计



男生









女生









合计





100



并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



（参考公式：
，其中
）

【解析】由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名；分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2 (人)，记为B1，B2． 2分

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果为

共有10种， 4分

其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果有

，

共有6种， 5分

故所求的概率
． 6分

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，数学尖子生男生60×0.25=15(人)，女生40×0.375=15(人) 7分

据此可得2×2列联表如下：

数学尖子生

非数学尖子生

合计



男生

15

45

60



女生

15

25

40



合计

30

70

100



 9分

假设数学尖子生与性别无关，则

的观测值
11分

因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”． 12分

（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，底面
是正三角形，点
是
的中点，
．（Ⅰ）求证：
平面
；（Ⅱ）试在棱
上找一点
，使得
，并说明理由．

【解析】（Ⅰ）连结
，交
于点
，连结
． 1分

在
中，
为
中点．

又因为
为
中点，所以
． 2分

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． 4分

（Ⅱ）当
为棱
中点时，
，理由如下： 5分

因为在直三棱柱
中，
，

所以四边形
为正方形．

因为
为棱
中点，
是
的中点，易证
， 6分

所以
，

又因为
，

所以
，故
． 7分

因为
是正三角形，
是
的中点，

所以
．

因为平面
平面
平面
平面
平面
，

所以
平面
9分

因为
平面
所以
．

因为
，
平面
，

所以
平面
， 11分

因为
平面
，所以
． 12分

（20）（本小题满分12分）已知直线
，半径为
的圆
与
相切，圆心
在
轴上且在直线
的上方．（Ⅰ）求圆
的标准方程；（Ⅱ）过点
的直线与圆
交于
两点（
在
轴上方），问在
轴正半轴上是否存在点
，使得
轴平分
？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（Ⅰ）设圆心
，

则
（舍去）． 2分

所以圆
的标准方程为
． 4分

（Ⅱ）当直线
轴，在
轴正半轴上任一点，都可使
轴平分
； 5分

当直线
斜率存在时，

设直线
方程为
，
6分

联立圆
的方程和直线
的方程得，

， 7分

故
， 8分

若
轴平分
，则

.

当点
的坐标为
时，能使得
成立． 12分

（21）（本小题满分12分）已知函数
（
）．（Ⅰ）当
时，求
的最小值；（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围．

【解析】（Ⅰ）
的定义域为
， 1分

当
时，
,
， 2分

令
，则
；令
，则
，

所以
在
单调递减，
单调递增． 4分

所以
． 5分

（Ⅱ）
（
）， 6分

①
时，
，
在
单调递减，
恒成立与已知相矛盾． 7分

②当
时，由
得
，

所以
的单调减区间是
，单调增区间是
. 9分

当
，即
时，
在
单调递增，
恒成立；

当
，即
时，
在
单调递减，在
单调递增，存在
，与已知相矛盾． 11分

综上，实数
的取值范围是
． 12分

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，在直角
中，
，
为
边上异于
的一点，以
为直径作
，分别交
于点
．（Ⅰ）证明：
四点共圆；（Ⅱ）若
为
中点，且
，求
的长．

【解析】（Ⅰ）连结
，则
， 1分

因为
为直径，所以
， 2分

因为
，所以
， 3分

所以
， 4分

所以
四点共圆． 5分

（Ⅱ）由已知
为
的切线，所以
，故
，

所以
， 7分

因为
为
中点，所以
． 8分

因为
四点共圆，所以
， 9分

所以
． 10分

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线
的极坐标方程为
，定点
，
是圆锥曲线
的左、右焦点．直线
经过点
且平行于直线
．（Ⅰ）求圆锥曲线
的直角坐标方程和直线
的参数方程；（Ⅱ）若直线
与圆锥曲线
交于
两点，求
．

【解析】（Ⅰ）圆锥曲线
的普通方程为
， 2分

其焦点为
,
，所以
的斜率
， 3分

所以直线
的参数方程为
（
为参数）． 5分

（Ⅱ）将直线
的参数方程
（
为参数），代入椭圆方程得：

， 7分

所以，
， 8分

所以，
． 10分

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数
（
）．（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；（Ⅱ）若函数
的最小值为5，求
的值．

【解析】（Ⅰ）当
时，不等式
，即
，等价于

或
或
3分

解得
，或
，或
． 4分

所以，原不等式解集为
． 5分

（Ⅱ）
， 7分

当且仅当
时取等号． 8分

所以
，解得
，或
． 10分

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