2016届莆田市毕业班教学质量检查试卷

数学（理科） 2016.3

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数
满足
，则

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
，则下列结论错误的是

A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于直线
对称

C．函数
的图象关于点
对称 D．函数
在区间
上是增函数

4．若
的展开式中存在常数项，则常数项为

A．15 B．20 C．30 D．120

5．已知函数
，若不等式
在
上恒

成立，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

6．执行如图所示的程序框图，欲使输出的
，则输入整数
的最小

值为

A．3 B．4 C．5 D．6

7．据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布

，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300

的概率为

A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987

附：若
，则:

8．已知公比为2的等比数列
的前
项和为
，若
，则

A．56 B．128 C．144 D．146

9．点
为双曲线
的右顶点，过右焦点
且倾斜角为
的直线与直线
交于点
．若
为等腰三角形，则双曲线的离心率为

A．2 B．
C．3 D．

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

11．已知抛物线
的焦点为
，圆

与该抛物线交于
两点，若
三点共线，则
的长

度为

A．4 B．6 C． 8 D．10

12．在
中，
．若动点
满足
，则点
的轨迹与直线
所围成的封闭区域的面积为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.

13．若变量
满足约束条件
，则
的最小值为

14．已知数列
满足
，则

15．已知一个棱长为
的正四面体内接于球，则该球的表面积是

16．定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，有
，且当
时，
．若函数
在
上至少有三个零点，则实数
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，且
.

（Ⅰ）求
；（Ⅱ）若
，当
取最小值时，求
的面积.

18.（本小题满分12分）

某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）估计产品中该物质含量的平均数及方差（同一组数据用该区间的中点作代表）；

（Ⅱ）规定产品的级别如下表：

现质检部门从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品，再从中随机抽取3件产品进行检测，记质检部门“抽到
或
的个数为
”，求
的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
是正三角形，
,
为
的中点.

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知两点
，直线
经过点
且与
轴垂直，点
是
上异于点
的动点，直线
垂直线段
并交线段
于点
，记点
的轨迹为曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线与曲线
交于
两点，直线
分别与
交于
两点，当
的面积是
的面积的2倍时，求直线
的方程.

21.（本小题满分12分）.

已知函数

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若
是
的导函数，且不等式
恒成立，求
的值.

请在第22、23、24两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）

如图，AC为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点。

（I）求证：DE∥AB；

（II）求证：AC·BC＝2AD·CD

23.（本小题满分10分）选修4-4极坐标与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，直线
的极坐标方程为
，
与
的交点为
.

（Ⅰ）判断点
与曲线
的位置关系；

（Ⅱ）点
为曲线
上的任意一点，求
的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围.

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