2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测

理科数学能力测试

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分

考生注意：

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用
毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知全集为R，集合
,
，则
（A）
（B）
（C）
（D）

2、复数z满足
，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3、函数
（
）在
处取得最小值，则（A）
是奇函数 （B）
是偶函数（C）
是奇函数 （D）
是偶函数

4、在
中，
,
，则
（A）
（B）
（C）
（D）

5、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率
如下表所示：
在降水量
至少是
的条件下，工期延误不超过
天的概率为（A）
（B）
（C）
（D）

6、若
满足约束条件
且目标函数
取得最大值的点有无数个，则
的最小值等于（A）
（B）
（C）
（D）

7、执行右面的程序框图，若输入
值为4，则输出的结果为（A）8 （B）21（C）34 （D）55

8、
的展开式中，
的系数为（A）45 （B）60

（C）90 （D）120

9、正项等比数列
满足
,

，则下列结论正确的是（A）
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，

10、双曲线
的左、右焦点分别为
,
，
是
左支上一点，
，直线
与圆
相切，则
的离心率为（A）
（B）
（C）
（D）

11、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（A）
（B）
（C）
（D）

12、设
，函数
．若存在
使得
成立，则
（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

13、知函数
若
为偶函数，则实数
．

14、所有棱长均为
的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．

15、抛物线
的准线与
轴交于点
，过焦点
作倾斜角为
的直线与
交于
两点，则
= ．

16、数列
的前
项和为
．已知
,
，则
________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）
的内角
,
,
所对的边分别为
，已知
．（Ⅰ）求
；（Ⅱ）若
边上的中线
，高线
，求
的面积．

18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
 （ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：

．

19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥
的底面是梯形，且
,
平面
，
是
中点，
．（Ⅰ）求证：
平面
；（Ⅱ）若
，
，求直线
与平面
所成角的大小．

20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，已知点
的坐标分别为
．直线
相交于点
，且它们的斜率之积是
．记点
的轨迹为
．（Ⅰ）求
的方程；（Ⅱ）已知直线
分别交直线
于点
，轨迹
在点
处的切线与线段
交于点
，求
的值．

21、（本小题满分12分）已知
，函数
的图象与
轴相切．（Ⅰ）求
的单调区间；（Ⅱ）当
时，
，求实数
的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，
内接于圆O，
是
的中点，∠
的平分线分别交
和圆
于点
,
．（Ⅰ）求证：
是
外接圆的切线；（Ⅱ）若
,
，求
的值．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）．以
为极点，
轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出
的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线
经伸缩变换
后得到曲线
，射线
（
）分别与
和
交于
,
两点，求
．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式
的解集为
．（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）设关于
的方程
（
）有解，求实数
的值．

2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测

理科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C

（7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）因为
，所以
， 2分

即
，

因为
，
，

所以
， 4分

又因为
，所以
． 5分

（Ⅱ）由
是
中点，得
，

即
，

所以
，① 7分

由
，

得
，即
，② 9分

又根据余弦定理，有
，③ 10分

联立①②③，得
，

解得
．

所以△
的面积
． 12分

（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：



2分

假设
：该学科成绩与性别无关，

的观测值
，

因为
，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． 6分

（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率
视作概率． 7分

设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为
，则
服从二项分布
， 9分

所求概率
．

12分

（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

（Ⅰ）证明：取
的中点
，连结
，如图所示．

因为
，所以
． 1分

因为
平面
，
平面
，

所以
．

又因为
，

所以
平面
． 3分

因为点
是
中点，

所以
，且
． 4分

又因为
，且
，

所以
，且
，

所以四边形
为平行四边形，

所以
，所以
平面
． 6分

（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结
，则
，

因为
平面
，