沈阳二中2015—2016学年度下学期第一次模拟考试

高三（16届）数学(文科)试题

命题人：石 莹 审校人：石 莹

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）
或

2. 已知i是虚数单位，复数
则z的共轭复数是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 已知向量
，
，若
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4. 在等比数列
中，
则“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5. 已知倾斜角为的直线
与直线
垂直，则
的值为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

6. 已知
，且
，函数
的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
，则
的值为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 右面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，]内

则输入的实数x的取值范围是(　　)

（A）
（B）

（C）
（D）

8. 若
满足
且
的最大值为6，

则
的值为（ ）

（A）
（B）1 （C）
（D）

9. 设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
在
处取得极小值，则函数
的图象可能是（ ）

（A） （B） （C） （D）

10. 一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行.若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50,100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为( )

（A）20.7% （B）29.3% （C）58.6% （D）41.4%

11. 过点
的直线
与双曲线
的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线
右支上的点到直线
的距离恒大于
，则双曲线
的离心率取值范围是（ ）

（A）
（B）
　 （C）
（D）

12. 已知
是函数
的零点，
，则

①
；②
；③
；④

其中正确的命题是（ ）

（A）①④ （B）②④ （C）①③ （D）②③

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）

13. 函数
必过定点 。

14. 各项均为正数的等差数列
中，
，则前12项和
的最小值为 。

15. 如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为 。

16．
己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为 。

三、解答题：（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）在
中，三个内角
的对边分别为
，

.

（1）求
的值；

（2）设
，求
的面积
.

18. （本小题满分12分）据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破
亿元。某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过
元的
名网购者（其中有女性
名，男性
名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这
名网购者中抽取
名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）

消费金额













人数













女性消费情况：

男性消费情况：

消费金额













人数













（Ⅰ）计算
的值；在抽出的
名且消费金额在
（单位：元）的网购者

中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；

女士

男士

总计



网购达人









非网购达人









总计









（Ⅱ）若消费金额不低于
元的网购者为 “网购达人”，低于
元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面
列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”

附：



























（
，其中
）

19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形．点
是

棱
的中点，平面
与棱
交于点
．

（Ⅰ）求证：
∥
；

（Ⅱ）若
，且平面
平

面
，试证明
平面
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段
上是否存在点

,使得

平面
?（请说明理由）

20. （本小题满分12分） 如图椭圆
的离心率为
，

其左顶点
在圆
上.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）直线
与椭圆
的另一个交点为
，与圆
的另一个交点为
.

（i）当
时，求直线
的斜率；

（ii）是否存在直线
，使得
? 若存在，求出直线
的斜率；若不存在，

说明理由.

21. （本小题满分12分） 函数
（a∈R），
为自然对数的底数．

（1） 当a＝1时，求函数
的单调区间；

（2） ①若存在实数
，满足
，求实数
的取值范围；

②若有且只有唯一整数
，满足
，求实数
的取值范围．

考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
切线,
是切点, 割线

是圆
的直径，

交
于
，
，
,
.

（1）求线段
的长；

（2）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线
：
（
为参数），
：
（
为参数）.

（Ⅰ）化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求线段
的中点
到直线
距离的最小值.

24. （本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式
，其解集为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
均为正实数，且满足
，求
的最小值.

沈阳二中2015—2016学年度下学期第一次模拟考试

高三（16届）数学(文科)试题答案

选择题:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

D

C

A

B

D

C

B

C

C

A

A





填空题:

13. （3,0） 14.78 15. 2 16. (3，3.5)

三.解答题:

17.解：（1）

，

．

． ……………………3分

又

是
的内角，

．

，

又

是
的内角，

，

．

． ……………………8分

（2）

，

．

的面积
……………………12分

18.解：（Ⅰ）依题意，女性应抽取
名，男性应抽取
名 …………………………1分

……………………………………………2分

…………………………………………3分

抽出的
名且消费金额在
（单位：元）的网购者中有三位女性设为
；两位男性设为
，从
人中任选
人的基本事件有：

,