2016年大连市高三双基测试卷

数 学（文科）

说明：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．

2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：锥体体积公式
，其中
为底面面积，
为高；球的表面积公式：
，其中
为半径.

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集
，集合
,则

（A）{4,6} (B) {4} (C) {6} (D)

2.已知复数
，则

（A）
(B)
(C)
(D)

3.已知函数
定义域为
，则命题
：“函数
为偶函数”是命题
：“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 (D)既不充分也不必要条件

4．在区间
上随机地取一个数
,则事件“
”发生的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

5．执行如图的程序框图，输出的
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

6．已知互不重合的直线
,互不重合的平面
,给出下列四个命题，错误的命题是

（A）若


，


，
，则

(B)若
，
，
则

(C)若
，
，
，则

(D)若


，


，则
//

7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为

（A）
钱 （B）
钱 （C）
钱 （D）
钱

8．已知直线
和圆
交于
两点，且
，则实数

（A）
（B）
（C）
（D）

9．已知点
满足不等式组
，则
的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

10．
中，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

11．若抛物线
上一点
到其焦点
的距离为
，
为坐标原点，则
的面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

12．函数
是定义在
上的单调函数，且对定义域内的任意
，均有
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．双曲线
的渐近线方程为 .

14．数列
前
项和
，则
.

15．已知向量
、
满足
＝
，
＝
，
与
的夹角为
，则|


|= .

16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 .

三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分12分）

已知函数
经过点
，且在区间
上为单调函数.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：

甲电商：

消费金额（单位：千元）













频数

50

200

350

300

100



乙电商：

消费金额（单位：千元）













频数

250

300

150

100

200



（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；

(甲) （乙）

（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲、乙1000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任取2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率.

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，
.
面
，且
.
为
中点，
在棱
上，且
.

（Ⅰ）求证：
面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
：
的左右焦点分别为
，过
作垂直于
轴的直线
交椭圆
于
两点，且满足
.

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）过
作斜率为
的直线
交
于
两点.
为坐标原点，若
的面积为
，求椭圆
的方程.

21. （本小题满分12分）

设函数
（
，实数
）.

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
在
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的直径，
.

（Ⅰ）求证：
是⊙
的切线；

（Ⅱ）设
与⊙
的公共点为
，点
到
的距离为
，求
的值.

23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
：
（
为参数，实数
），曲线
：
（
为参数，实数
）.在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与
交于
两点，与
交于
两点.当
时，
；当
时，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
（
，实数
）.

（Ⅰ）若
，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求证：
.

2016年大连市高三双基测试

数学（文科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.C 10.D 11.B 12.C

二．填空题

13.
14.
15.
16.

三．解答题

17. 解：

（Ⅰ）由题可得
，……………………3分

解得
，
，∵
，∴
. ………………………6分

（Ⅱ）∵
，数列
的周期为
.

前三项依次为
，…………………………………………………………………9分

∴

，

∴
. ………………………………12分

18. （Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，…………………………………………………4分

甲的中位数在区间
内，乙的中位数在区间
内，所以甲的中位数大. ……………………………………………………6分

（Ⅱ）运用分层抽样分别从甲的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为2人，记作
；运用分层抽样分别从乙的1000名消费者中抽出20人，消费金额不小于4千元的人数为4人，记作
.

在这六人中任意抽取两人，所得基本事件空间为：

，共计15个元素. …………9分

把两人恰好是来自不同电商消费者这个事件记作
，

则
，共计8个元素.

∴
.………………………………………………………………………………12分

19.（Ⅰ）证明：如图所示，取
中点
，连接
.连接
交
于
，连接
.…………………2分

由题可得
为
中点，
为
中点，∴
；

又
为
中点，
为
中点，∴
.…4分

又
，