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简介:
沈阳二中2015-2016学年度下学期第一次模拟考试 高三(16届)数学(理)试题 命题人:高三数学组 审校人:高三数学组 说明:1.测试时间:120分钟 总分:150分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷(60分) 一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合,则等于( ) A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位,若复数()是纯虚数,则实数的值为( ) A.-4 B.-1 C.4 D.1 3. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查,y与x具有相关关系,回归方程=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为7.675(千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A. 83% B. 72% C. 67% D. 66% 4. 下列叙述中正确的是( ) A.若,则“”的充分条件是“” B.若,则“”的充要条件是“” C.命题“对任意,有”的否定是“存在,有” D.是一条直线,是两个平面,若,则 5. 的展开式中,x3的系数等于( ) A.-15 B.15 C.20 D.-20 6.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体中, 最长的棱的长度是( ) A. B. C. D. 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn ,点(n,Sn)在函数f(x)=的图象上,则数列{an}的通项公式为( ) A. B. C. D. 9.已知一次函数满足且,那么对于a,使得在上恒成立的概率为( ) A. B. C. D. 10.点、、、在半径为的同一球面上,点到平面的距离为,,则点与中心的距离为( ) A. B. C. D. 11.已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,满足,则的取值范围是( ) A.(0,2) B.(1,3) C.[0,3] D.[1,3] 12.过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行,若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(90分) 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 抛物线的准线方程是 . 14. 公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限 增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为 (参考数据:,) 15.已知两个非零平面向量满足:对任意恒有,若,则 . 16. 已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是 。 三、解答题(共70分) 17.(本小题满分12人) △ABC中,,AB=2,点D在线段AC上,且AD=2DC,BD (Ⅰ)求BC的长; (Ⅱ)求△DBC的面积。 18.(本小题满分12人) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。 (Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差。 (Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。 19.(本小题满分12分) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA1⊥平面ABC,点E是AB的中点,CE∥平面A1BD。 (Ⅰ)求证:点D是CC1的中点; (Ⅱ)若A1D⊥BD,求平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值。 20.(本小题满分12分) 已知椭圆离心率为,点在短轴CD上, 且 . (I)求椭圆E的方程; (II)过点P的直线与椭圆E交于A,B两点. (i)若,求直线的方程; (ii)在y轴上是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知函数. (Ⅰ)若曲线在点(2,f(2))处的切线的斜率小于0,求的单调区间; (Ⅱ)对任意的,,恒有,求正数的取值范围。 请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,圆的半径为6,线段与圆相交于点,,,与圆相交于点. (Ⅰ)求长; (Ⅱ)当时,求证:. 23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为.(为参数) (Ⅰ)写出直线与曲线的直角坐标方程; (Ⅱ)过点且平行于直线的直线与曲线交于两点,若, 求点轨迹的直角坐标方程. 24. (本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲 (Ⅰ)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,bM。 证明:; (Ⅱ)若函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|,关于x的不等式f(x)-log2(a2-3a)>2恒成立,求实数a的取值范围。 沈阳二中2015-2016学年度下学期第一次模拟考试 高三(16届)数学(理)试题试卷答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D B B D D B B B A 二、填空题: 13. 14. 24 15.8 16. 三、解答题 17. 解(Ⅰ)∵cos∠ABC………………………………2? 在△ABC中,设BC=a,AC=3b ∴9b2= ①…………5? 在△ABD中, cos∠ADB= 在△BDC中, cos∠BDC=……………………7? cos∠ADB=-cos∠BDC =- ② 由①② ∴BC=3……………………9? (Ⅱ) ……………………12? 18. 解: (Ⅰ)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10。………2? 所以平均数为;……………………4? 方差为…………6? (Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11; 乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10。 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果, 这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21。 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”, 所以该事件有2种可能的结果, 因此P(Y=17)=。 同理可得P(Y=18)=;P(Y=19)= ;P(Y=20)=;P(Y=21)=。 所以,随机变量Y的分布列为: Y 17 18 19 20 21 P …………10? EY=17×+18×+19×+20×+21×=19。……………………12? 19. 解:(Ⅰ)取A1B1的中点F,连接FC1,EF,设EF?A1B=G,连接CD,……1? 由作图过程易得:四边形CEFC1为平行四边形,EC∥AA1。 在△AA1B中,点E是AB的中点,∴点G是A1B的中点, EG=AA1=CC1。……………………………3? 又CE∥平面A1BD,CE?平面EFC1C, 且平面EFC1C?平面A1BD=DG, ∴DG∥CE,又∵EG∥CD ∴四边形CEGD为平行四边形,CD=EG=CC1, ∴点D是CC1的中点……………………………6? (Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥AA1,AA1⊥平面ABC, ∴EF⊥平面ABC 又△ABC是边长为2的等边三角形,点E是AB的中点, ∴CE⊥AB且CE=。 如图,建立空间直角坐标系E-xyz,设EF=2h,…………………7? 则B(1,0,0),C(0,,0),F(0,0,2h),A1(-1,0,2h),D(0,,h), ,,, 由A1D⊥BD可知:,h= …………………8? 由z轴⊥平面ABC可得:平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)。…………9? 设平面A1BD的法向量为=(x,y,z), 由 ,得, 令x=,则, ∴cos<,>=, ∴平面A1BD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值为。 20. 21. 解:(Ⅰ), 若曲线在点(2,f(2))处的切线的斜率小于0, 则,即有,∴2a+1>2>1,…………………2? 则由f(x)>0得0 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(2a+1,+?),单调递减区间为(1,2a+1)。……5? (Ⅱ)∵,∴(2a+1)[4,6],由(Ⅰ)知f(x)在[1,2]上为减函数。 不妨设1≤x1 ∴原不等式即为:f(x1)-f(x2)<, 即,对任意的,x1,x2[1,2]恒成立。……7? 令g(x)=f(x)-,∴对任意的,x1,x2[1,2]有g(x1) ∴g(x)=f(x)-在闭区间[1,2]上为增函数, ∴对任意的,x[1,2]恒成立。……………………9? 而, 化简得, 即≥0,其中。 ∵[1,2],,只需, 即对任意x[1,2]恒成立, 令,x[1,2],恒成立, ∴在闭区间[1,2]上为减函数, 则。由,解得。……12? 22.解:(I)∵,∴,∴. ∵,∴∽,∴, ∵,∴,∴. (II)∵,∴. ∴. ∴. 23.解(I)直线,曲线. (II)设点及过点的直线为(为参数). 由直线与曲线相交可得:, ,即:, 表示一椭圆, 取代入,得: | ||||||||||||||||||||||||||||||
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