2016年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．

3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数
的模是（ ）

A.
B.
C. 1 D. 2

2. 已知集合
，集合
，则集合
真子集的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 已知直线
的一般方程式为
，则
的一个方向向量为（ ）

A. (1,1) B. (1,-1) C. (1,2) D. (1,-2)

4. 已知函数
是定义在R上的偶函数，若当
时，
，则
（ ）

A. -32 B. -6 C. 6 D. 64

5. 抛物线
上的动点
到其焦点的距离的最小值为
，则
( )

A.
B. 1 C. 2 D. 4

6. 已知
且
，其中
，则
的可能取值是( )

A.
B.
或

C.
D.
或

7. 已知正三棱锥
的正视图、侧视图和俯视

图如图所示，则该正三棱锥侧棱与底面所成的角是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在某项测量中，测量结果
服从正态分布

．若
在(0,1)内取值的概率为0.4，则
在(0,2)内取值的概率为0.8；

④对分类变量X与Y的随机变量K 2的观测值k来说，k越小，

判断“X与Y有关系”的把握程度越大．

其中真命题的个数为(　　)

A. 1 　 B. 2

C. 3 D. 4

9. 阅读如图所示程序框图，若输出的
，则满足

条件的整数
共有( )个．

A. 8

B. 16

C. 24

D. 32

10. 从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为
, 下列各式的展开式中
的系数为
的选项是（ ）

A.

B.

C.

D.

11.
是双曲线
的左焦点，在
轴上点
的右侧有一点
，以
为直径的圆与双曲线左右两支在
轴上方的交点分别为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 若命题“

，不等式
”是真命题，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）

13. 已知等比数列
，公比
，且其前
项和
，则
_________.

14. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年)一书中，用如图（1）的三角形，解释二项和的乘方规律. 在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作

（1655年）介绍了这个三角形. 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（ Chinese triangle）如图（1），17世纪德国数学家莱布尼茨发现了 “莱布尼茨三角形”如图（2）. 在杨辉三角中相邻两行满足关系式：
，其中
是行数，
N. 请类比上式，在莱布尼兹三角中相邻两行满足的关系式是 .

15. 在区间
上随机地取一个实数
，则事件“
”发生的概率为 ．

16. 设A,B,C,D四点是半径为3的球面上四点，则三棱锥
的最大体积为__________.

三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分)

已知在
中，角
的对边分别为
，若
,
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若等差数列
中
，
.

（ⅰ）求数列
的通项公式；

（ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，
，
，
，
平面
.

（Ⅰ）设
为线段
的中点，求证：
//平面
；

（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成二面角的余弦值.

19、（本小题满分12分）

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成
，
，
，
，
五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：

（Ⅰ）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有
以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为
. 若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列，期望
和方差
.

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

60







捐款不超

过500元



10





合计











附：临界值表

0.10

0.05

0.025





2.706

3.841

5.024



 随机量变

20.（本小题满分12分）

设
为椭圆

上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|＋|PF2|＝4，离心率为
.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)直线
:
与椭圆交于
、
两点，试问参数
和
满足什么条件时，直线
,
,
的斜率依次成等比数列；

(III)求
面积的取值范围.

21. (本小题满分12分)

已知
，
，
.

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若有且仅有两个整数

，使得
成立，求实数
的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题10分）

　　如图，
是直角三角形，
，以
为直径的圆
交
于
，过
作圆
的切线交
于
，
交圆
于点
.

（Ⅰ）证明：
//
；

（Ⅱ）证明：
.

（本小题10分）

　　在平面直角坐标系中，过点
的直线
的参数方程为
（
为参数，
为
的倾斜角）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线

，曲线

.

（Ⅰ）若直线
与曲线
有且仅有一个公共点，求直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
交于不同两点
、
，与
交于不同两点
、
，这四点从左至右依次为
、
、
、
，求
的取值范围.

（本小题10分）

　　已知函数
，
.

（Ⅰ）若
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
，求
的最小值.

2016年沈阳市高三教学质量监测（三）

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一．选择题

1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.A

一．选择题

1.因为
，又
，所以选C.

2.化简集合
，集合
，所以

，故选C.

3.直线
的斜率为-1，所以选B.

4.因为
是在
上的偶函数，所以
，故选B.

5.因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即
,
.

6.一法：用单位圆中三角函数线的知识可以知道
，从而
故选

二法：由
平方可得
，由
及
，有
且
, 从而
故选

7.有三视图可知定义可知，侧棱
，侧棱的射影为底面外接圆的半径为2，则由线面成角的定义可知
，三棱锥侧棱与底面所成的角为

8.①为系统抽样；④对分类变量
与
，它们的随机变量
的观测值
来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．①④错误，故选B.

9.由题
,其中的整数共有32个，故选D.

10.
是有
中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的
，这与从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是
的展开式中
的系数，故选A.

11.直接取
点为双曲线的右焦点
，则
.

12.方法一

令
，而
，

令
，则
，

因为