2016年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）

数 学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．

3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 复数
的模是（ ）

A.
B.
C. 1 D. 2

2. 已知集合
，集合
，则集合
真子集的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 若直线
被圆
截得的弦长为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 已知函数
是定义在R上的偶函数，若当
时，
，则
（ ）

A. -32 B. -6 C. 6 D. 64

5. 抛物线
上的动点
到其焦点的距离的最小值为
，则
( )

A.
B. 1 C. 2 D. 4

6. 已知
且
，其中
，则
的可能取值是( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知正三棱锥
的正视图、侧视图和俯视图如图

所示，则该正三棱锥侧面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 等差数列
中，
，则前9项和
（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 阅读如图所示程序框图，若输出的
，则满足条件的整数
共有( )个．

A.8

B.16

C.24

D.32

10. 设
、
满足约束条件
，

若目标函数
的最大值为
，则
的最小值为（ ）

A．
B．

C．
D．

11.
是双曲线
的左焦点，在
轴上点
的右侧有一点
,以
为直径的圆与双曲线左右两支在
轴上方的交点分别为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 关于
的方程
有唯一解，则正实数
的值为（ ）

A．
B．1 C．
D．2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）

13. 已知等比数列
，公比
，且其前
项和
，则
_________.

14. 已知向量
的夹角为
，
，则
_____________．

15. 在区间
上随机地取一个实数
，则事件“
”发生的概率为_______．

16. 已知球O的半径为1，点A,B,C是球大圆上的任意三点，点
是球面上的任意一点，则三棱锥
的最大体积为__________.

三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分)

已知在
中，角
的对边分别为
，若
,
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若等差数列
中
，
.

（ⅰ）求数列
的通项公式；

（ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
，
平面
，
为线段
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求点
到平面
的距离.

19、（本小题满分12分）

沈阳市某省级重点高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（
）”，先在本校进行初赛（满分
分），若该校有
名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；

（Ⅱ）该校推荐初赛成绩在
分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取
人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．

20.（本小题满分12分）

设P为椭圆

上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|＋|PF2|＝4，离心率为
.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)直线
:
经过点
，且与椭圆交于
、
两点，若直线
,
,
的斜率依次成等比数列，求直线
的方程.

21. (本小题满分12分)

已知函数
，其中
，
为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，
，求实数
的取值范围．

　　请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题10分）

　　如图，
是直角三角形，
，以
为直径的圆
交
于
，过
作圆
的切线交
于
，
交圆
于点
.

（Ⅰ）证明：
//
；

（Ⅱ）证明：
.

23.（本小题10分）

　　在平面直角坐标系中，过点
的直线
的参数方程为
（
为参数，
为
的倾斜角）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线

，曲线

.

（Ⅰ）若直线
与曲线
有且仅有一个公共点，求直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
交于不同两点
、
，与
交于不同两点
、
，这四点从左至右依次为
、
、
、
，求
的取值范围.

（本小题10分）

　　已知函数
，
.

（Ⅰ）若
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
，求
的最小值.

2016年沈阳市高三教学质量监测（三）

数学（文科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一．选择题

1.C 2.C 3. C 4.B 5.C 6.C 7.B 8. C 9.D 10. C 11.D 12.A

一．选择题

1.因为
，又
，所以选C.

2. 化简集合
，集合
，所以

，故选C.

3. 利用点到直线的距离公式，可以求出圆心
到直线
的距离为
，结合圆的半径
，以及弦长的一半
，利用勾股定理可以求出
.

4.因为
是在
上的偶函数，所以
，故选B.

5.因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即
,
.

6.一法：用单位圆中三角函数线的知识可以知道
，从而
故选

二法：由
平方可得
，由
及
，有
且
, 从而
故选

7.有三视图可知定义可知，侧棱
，因为底面边长为
，所以斜高为
，则正三棱锥的侧面积为
.

8. 根据题意，由
可知
，前
项和
.

9.由题
，其中的整数共有32个，故选D.

10. 根据题意，可以画出可行域为阴影区域
，目标函数
对应的直线方程为
，当
取得最大值
时，直线
一定经过点
，即
，其中
. 问题转化为已知
，其中
，求
的最小值.可以再次利用数形结合思想，如图所示，点
在线段
（不包括端点）上运动，求
的最小值. 直接利用点到直线距离公式即可求出.

11.直接取
点为双曲线的右焦点
，则

.

12.令
，
，

令
，∴
，∵
，
，∴
，

当
时，
，∴
在
上单调递减，

当
时，
，∴
在
上单调递增，

又
有唯一解，∴
，即
，

两式相减得：
，∴
．故选A.

二.填空题

13.8 14.
15.