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2016年重庆一中高2016级高三下期高考模拟考试

数 学 试 题 卷(理科)2016.5

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
，集合
(
为自然对数的底数)，则

（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
是纯虚数，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

3.设平面
与平面
相交于直线
，直线
在平面
内，直线
在平面
内，且
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.若
为偶函数，且当
时，
，则不等式
的解集

为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，
），则圆柱底面周长约为（ ）

A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺

6．设点
是边长为1的正
的中心（如图所示），则
＝（ ）

A.
B.
C.
D.

7.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为( )

A.
B.
C.
D.

8.设实数
，
满足约束条件
，已知
的最大值是
，最小值是
，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．把周长为1的圆的圆心
放在
轴，顶点
，一动点
从
开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长
，直线
与
轴交于点
，则函数
的大致图像为（ ）

10．一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知
是双曲线
的右焦点，
是双曲线
的中心，直线
是双曲线
的一条渐近线，以线段
为边作正三角形
，若点
在双曲线
上，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.设函数
有两个极值点
，若点
为坐标原点，点
在圆
上运动时，则函数
图象的切线斜率的最大值为( )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.已知函数
是奇函数，则
。

14．在二项式
的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中
的系数为 。

15.已知直线
和直线
分别与圆
相交于
和
，则四边形
的内切圆的面积为 。

16.在平面四边形
中，
，则
的最大值为

__ 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知数列
中，
，其前
项和为
，且当
时，
。

（1）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）令
，记数列
的前
项和为
，求
。

18.(本小题满分12分)某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：

（Ⅰ）填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案)；

（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖。某同学进入决赛，每道题答对的概率
的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同。

（1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；

（2）设该同学答题个数为
，求
的分布列及
的数学期望。

序号

分组（分数段）

频数（人数）

频率



1



8

0.16



2



22





3



14

0.28



4









合计



1





（第18题图）

19.(本小题满分12分) 某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，

工人将如图所示的长方体
材料切割成三棱锥
。

（Ⅰ）若点
分别是棱
的中点，点
是
上的任意一点，

求证：
；

（Ⅱ）已知原长方体材料中，
，
，
，根据艺术品加工

需要，工程师必须求出该三棱锥的高；

(i) 甲工程师先求出
所在直线与平面
所成的角
，再根据公式

求出三棱锥
的高
.请你根据甲工程师的思路，

求该三棱锥的高；

（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如右图所示，则运行

该程序时乙工程师应输入的
的值是多少？

（请直接写出
的值，不要求写出演算或推证的过程）

(第19题图)

20.(本小题满分12分)已知三点
，曲线
上任意一点
满足：

。

（1）求曲线
的方程；

（2）动点
在曲线
上，曲线
在点
处的切线为
，问：是否存在定点
，使得
与
都相交，交点分别为
，且
与
的面积之比为常数？若存在，求
及常数的值；若不存在，说明理由。

21.(本小题满分12分)已知函数
，
（其中
），且函数
的图象在点
处的切线与函数
的图象在点
处的切线重合。

（1）求实数
的值；

（2）记函数
，是否存在最小的正常数
，使得当
时，对于任意正实数
，不等式
恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
，圆
是
的外接圆，
，
是圆
的直径．过点
作圆
的切线交
的延长线于点
。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
,
，求
的面积。

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

　　已知直线
的参数方程为
为参数
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，且曲线
的左焦点
在直线
上。

（Ⅰ）若直线
与曲线
交于
两点，求
的值；

（Ⅱ）设曲线
的内接矩形的周长为
，求
的最大值。

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲

已知函数
。

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
的解集包含
，求
的范围。

命题人：谢 凯 审题人：王明 黄勇庆

2016年重庆一中高2016级高三下期高考模拟考试

数 学 答 案(理科)2016.5

一.选择题.(每小题5分,共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

B

A

B

C

C

D

D

A

A

D





二.填空题.(每小题5分,共20分)

13.
14.
15.
16.

三.解答题.

17.（1）当
时，
，

，又由
，可推知对一切正整数
均有
，

则数列
是等比数列，
（4分）

当
时，
，又

（6分）

（2）当
时，

，又
，
，（8分）

则

当
时，
，（10分）

则

综上：

（12分）

18.（Ⅰ）①
；
；
；
（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
（5分）

（1）
（7分）

（2）该同学答题个数为2，3，4，即

，

（10分）

分布列为

2

3

4





0.16

0.192

0.648