重庆南开中学高2016级高三（下）3月月考

数学试题（文科）

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知
，则
的元素个数为（ ）

A、0 B、2 C、3 D、5

2、如果复数
是实数，则实数
（ ）

A、
B、
C、1 D、

3、已知数列
满足
，且
，则
的值为（ ）

A、8 B、7 C、6 D、5

4、已知抛物线
的焦点到直线
的距离为2，则抛物线
的方程为（ ）

A、
B、
C、
D、

5、已知命题
，命题
，则
的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

6、如图所示，墙上挂有一边长为
的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为
的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）

A、
B、

C、
D、与
的取值有关

7、函数
的部分图象如下图所示，则
（ ）

A、
B、

C、5 D、10

8、利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

9、过点
作圆
的弦，其中弦长为整数的共有（ ）

A、6条 B、7条

C、8条 D、9条

10、如图点
分别是正方体
的棱
的中点，过点
做截面去截正方体得到的新几何体（体积较大部分），则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（ ）

A、①④⑤ B、②③⑥ C、①③⑤ D、②④⑥

11、已知点
为双曲线
右支上一点，
为双曲线的左右焦点，
交双曲线左支于点
，若
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、2

12、已知函数
，函数
满足
，当
时，
，对于
，
，则
的最小值为（ ）

A、
B、
C、
D、

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生概括要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为

14、已知
满足的条件
，则
的最大值为

15、已知函数
的图象在点
处的切线
与直线
平行，若数列
的前
项和为
，则

16、已知三棱锥
，
、
、
两两垂直且长度均为4，长为2的线段
的一个端点
在棱
上运动，另一个端点
在
内运动（含边界），则
的中点
的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（12分）已知在
中，角
所对的边分别为
，且
；

（1）求角
；

（2）若
，求
周长的取值范围。

购买金额

频数

频率





5

0.05













15

0.15





25

0.25





30

0.3











合计

100

1.00



18、（12分）某统计部门随机抽查了3月1日这一天新世纪百货童装部100名顾客的购买情况，得到如右数据统计表，已知购买金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.

（1）确定
的值；

（2）为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关，对这100名顾客调查显示：购物金额在2000元以上的顾客中女顾客有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的顾客中男顾客有20人；

①请将列联表补充完整：

女顾客

男顾客

合计



购物金额在2000元以上

35







购物金额在2000元以下



20





合计





100



②并据此列联表，判断是否有97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关？

参考数据：

0.01

0.05

0.025

0.01





2.706

3.841

5.024

6.635





19、（12分）如图，斜三棱柱
，面
，且
，
，
为边长为2的等边三角形，
为
的重心，取
中点
，连接
与
交于
点：

（1）求证：
； （2）求三棱锥
的体积。

20、（12分）已知椭圆
的离心率
，点
在椭圆上运动，当
，
；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过原点直线
与椭圆交于
，斜率为
，直线
斜率为
，
，判断
的面积是否为定值，若为定值，则求出这个定值，若不为定值，则说明理由。

21、（12分）已知函数
；

（1）若函数
在点
处的切线方程为
，求实数
的值；

（2）当
时，函数
存在两个零点
，且
，求证：
。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22、（10分）如图所示，已知
和
相交于
两点，过点
作
的切线交
相交于点
，过点
作两圆的割线，分别交
、
于点
，
与
相交于点
。

（1）证明：
；

（2）若
是
的切线，且
，
，
，求
的长。

23、（10分）在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数且
）。

（1）求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程；

（2）当曲线
和曲线
有两个公共点时，求实数
的取值范围。

24、（10分）已知函数
，且关于
的不等式
对
恒成立。

（1）求实数
的最大值
；

（2）若正实数
满足
，求
的最小值。

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