2016届重庆市南开中学高三下学期二诊模拟数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知函数
的定义域为集合
，集合
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、已知
为第二象限角，且
，则
的值是（ ）

A、
B、
C、
D、

3、已知
为实数，则“
”是“
”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

4、已知
，则函数
的图像
处的切线的斜率为（ ）

A、
B、
C、
D、

5、已知公差不为0的等差数列
满足
成等比数列，
为数列
的前
项和，则
的值为（ ）

A、
B、
C、2 D、3

6、执行如图所示的程序框图，则输出的
值为（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

7、将函数
的图象分别向左和向右移动
之后的图象的对称中心重合，则正实数
的最小值是（ ）

A、
B、
C、
D、

8、设点
是区域
内的任意一点，则使函数
在区间
上是增函数的概率为（ ）

A、
B、
C、
D、

9、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）

A、4
B、6

C、12
D、24

10、已知点
是抛物线
上一点，
为坐标原点，若以点
为圆心，
的长为半径的圆交抛物线
于
两点，且
为等边三角形，则
的值是（ ）

A、
B、2 C、6 D、

11、已知
且
，则
的取值范围（ ）

A、
B、
C、
D、

12、如图，正方形
的边长为6，点
、
分别在边
、
上，且
，
。如果对于常数
，在正方形
的四条边上，有且只有6个不同的点
使得
成立，那么
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相对应位置上。

13、若
（
为虚数单位），则复数
的值为 。

14、将甲乙等5名交警分配到三个不同的路口疏通交通，每个路口至少一人，且甲乙在同一路口的分配方案有 种。

15、已知
，则
。

16、已知数列
的各项均为正数，且满足
，则使得
成立的
的最大值是 。

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，若
。

（1）求角
的大小；

（2）已知
，
的面积为8，求边长
的值。

18、（本小题满分12分）

在某高校的一次自主招生考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：

组别















频数

5

18

28

26

17

6



（1）求抽取的样本平均数
和样本方差
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩
服从正态分布
（其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
），且规定82.7分是复试分数线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（结果取整数部分）

（附：
，若
，则
，

。）

19、（本小题满分12分）

如图①，在直角梯形
中，
，
，
，
，
的中点，
与
的交点。将
沿
折起到
的位置，如图②。

（1）证明：
平面
；

（2）若平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值。

20、（本小题满分12分）

已知椭圆
上一点
与椭圆右焦点的连线垂直于
轴，直线
与椭圆
相交于
、
两点（均不在坐标轴上）。

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）设
为坐标原点，若
的面积为
，试判断直线
与
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。

21、（本小题满分12分）

已知函数
，
。

（1）若函数
与
的图象有公共点，求实数
的取值范围；

（2）设函数
，若
，使得
，求证：
。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
内接于
，
是
的直径，
是过点
的直线，且
。

（1）求证：
是
的切线；

（2）如果弦
于点
，
，
，
，求
。

23、（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，过点
作倾斜角为
的直线
与曲线
相交于不同的两点
。

（1）写出直线
的参数方程；

（2）求
的取值范围。

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设不等式
的解集为
，且
。

（1）试比较
与
的大小；

（2）设
表示数集
中的最大数，且
，求证：
。

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