陕西省西北工业大学附属中学2016届高三第九次适应性考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1． 已知
是实数，
是纯虚数，则
等于（ ）

A． 1 B． -1 C．
D．

2．已知全集U，
,那么下列结论中可能不成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．若
;
是偶函数。则p是q的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．设
，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．执行如图所示的程序框图，若输入
，

则输出
的值为( )

A．
B．
C．
D．1

6．若非零向量
满足
，则
与
夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设
满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）

A． -1 B． 0 C． 1 D．2

8．已知数列{an}的通项公式为an＝log2 (n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n (　)

A．有最大值31 B．有最大值63

C．有最小值31 D．有最小值63

9．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0

A． 16 B． 20 C．27 D．18

10．若直线
与圆
相交于A、B两点，且
是直角三角形（O为坐标原点），则点
与点
之间距离的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．若
，且
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

12．给出下列命题：

①在区间
上，函数
中有三个是增函数；

②若
，则
；

③若函数
是奇函数，则
的图像关于点
对称；

④已知函数
，则方程
有2个实数根。

其中正确命题的个数为（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某校开展“向感动中国2015年度人物学习”主题墙报评比，9位评委为A班的墙报，给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，

复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是_____．

14. 椭圆C的两个焦点分别为
和
，若该椭圆C与直线
有

公共点，则其离心率的最大值为 .

15. 某几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积为 .

16.观察下列式子：

根据以上式子可以猜想：

（
）。

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17.（本小题满分12分）已知向量

（1）当
时，求
的值；

（2）求
在
上的值域．

18. （本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：

估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005



k0

2.706

3.841

6.635

7.879



附:

19. （本题满分12分） 如图，
⊥平面
，

四边形
是矩形，
，点
是
的中点，

点
在边
上移动.

（Ⅰ）点
为
的中点时，试判断
与平面
的

位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）证明：无论点
在边
的何处，都有
.

20. (本题满分12分)已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
，若过
的直线交曲线
于
两点，求
的取值范围．

21.（本小题满分12分）已知函数
的导函数

，且
. 设曲线
在原点处的切线
的斜率为
，过原点的另一条切线
的斜率为
.

（Ⅰ）若



：
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
时，函数
无极值，且存在实数
使
成立，求实数
的取值范围。

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图所示，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证：(1)∠DEA＝∠DFA；

(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l的参数方程是

(t为参数)

(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

(2)设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－a|，a∈R.

(1)当a＝0时，解关于x的不等式f(x)>4；

(2)若?x∈R，使得不等式|x－3|＋|x－a|<4成立，求实数a的取值范围．

参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.

1. A 2．C 3．A 4．C　 5. B 6. A

7．C 8．D 9． D 10．C 11.C 12. C

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 1 14.
15．
16．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17. 解：（1）
，∴
，∴

（2）

∵
，∴
，∴

∴
∴函数

18.解：（1）300×
＝90，所以应收集90位女生的样本数据．?

（2）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为

1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.?

（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又

因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周

平均体育运动时间与性别列联表如下：

?

男生

女生

总计



每周平均体育运动时间不超过4小时

45

30

75



每周平均体育运动时间超过4小时

165

60

225



总计

210

90

300?



结合列联表可算得K2＝
＝
≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．?

19. （I）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

中，E、F分别为BC、PB的中点.

而
平面PAC，
EF//平面PAC

（II）证明：
平面ABCD，BE
平面ABCD，
又
平面PAB，

又
平面PAB，

又PA=PB=1，点F是PB的中点，
又
PBE，
平面PBE.
平面PBE，

所以无论点
在边
的何处，都有
.

20. (本题满分12分)解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为
，

∵直线
与圆相切，∴
，即
，

又
，及
，得
，所以椭圆方程为
．

（Ⅱ）①当直线AB的斜率为0时，A（
，0），B（
，0）时，
=-1

②当直线AB的斜率不为0时，不妨设AB的方程为：

由
得：
,

设
则：
，
，

]，

由①、②得：
的取值范围为]．

21.（Ⅰ）由已知

，设
与曲线
的切点为

则
所以
，即
，

则
.

又
，所以
，即

因此

①当
时，
的增区间为
和
，减区间为
.

②当
时，
的增区间为
和
，减区间为
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）若
，则
，∴
，

于是
，所以
，

由
无极值可知，
，即
，

所以

由
知，
，即
，

就是
，

而
，故
，所以
，

又
，因此
.

22．证明:(1)连接AD(图略)．因为AB为圆的直径，

所以∠ADB＝90°.

又EF⊥AB，∠EFA＝90°，

则A，D，E，F四点共圆，所以∠DEA＝∠DFA.

(2)连接BC(图略)，由(1)，知BE·BD＝BA·BF.

又△ABC∽△AEF，

所以 ＝，即AB·AF＝AE·AC，

所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2.

23.解:(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，

又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.[来源:学科网ZXXK]

(2) 将直线l的参数方程转化为普通方程，得y＝－(x－2)．

令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为(2,0)．

由(1)，知曲线C为圆，圆心C的坐标为(0,1)，半径r＝1，

所以|MC|＝.

利用数形结合，可知|MN|≤|MC|＋r＝＋1，即|MN|的最大值为＋1.

24．解:(1)由a＝0，知原不等式为|x－3|＋|x|>4.

当x≥3时，原不等式可化为2x－3>4，解得x>.

当0≤x<3时，原不等式可化为3>4，无解．

当x<0时，原不等式可化为－2x＋3>4，解得x<－.

故原不等式的解集为{x|x<－或x>