2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训练

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知全集
，集合
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

2．设复数的共轭复数为
，且满足
，
为虚数单位，则复数
的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
，从中随机取一件，其长度误差落在区间
内的概率为( )

（附：若随机变量
服从正态分布
，则
，

，
）

A．
B．
C．
D．

4．已知
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．定义运算
为执行如图所示的程序框图输出的
值，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

6．已知向量
,
,
，若
，则向量
与向量
的夹角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数

，将
的图象向右平移
个单位长度后，所得图象与函数
的图像重合，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知一个棱长为
的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知异面直线
、
成
角，A为空间中一点，则过A与
、
都成
角的平面共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．已知
为经过抛物线
焦点
的弦，
为抛物线的准线与x轴的交点，若弦AB的斜率为
，则∠ACB的正切值为（ ）

A．
B．
C．1 D．不存在

11．已知数列
是等比数列，若
，则
（ ）

A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值

12．已知函数
（注：
是自然对数的底数），方程
，
有四个实数根，则
的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）

13．若数列
是正项数列，且
，则
．

14．
展开式中各项系数的和为
，则该展开式中常数项为 ．

15．过
向圆
引切线
，T为切点，若|PT|=|PO|（O为坐标原点），则切线|PT|的最小值为 ．

16．若整数
满足不等式组
，则
的最小值为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)己知函数
，

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（Ⅱ）设
的内角
的对应边分别为
，且
，
，若向量
与向量
共线，求
的值．

18．(本小题满分12分)在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
，
为
的中点，
与
交于点
，
侧面
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分)某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70，76）

[76，82）

[82，88）

[88，94）





芯片甲

8

12

40

32

8



芯片乙

7

18

40

29

6



（Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；

（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．

20．(本小题满分12分)已知双曲线C：
（
），
为C的左右焦点，P为C右支上一点，且使
，又
的面积为
．

（Ⅰ）求双曲线C的离心率
；

（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上任意一点，问是否存在常数λ（λ>0），使得
恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分12分)已知函数
的图像在
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）证明：当
时，恒有
；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的正数
，总存在正实数
，使得当
时，恒有
．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的外接圆的切线
与
的延长线相交于点
，
的平分线与
相交于点
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的值．

23．（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点
为极点，
轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的普通方程和直线
的倾斜角；

（Ⅱ）设点
，直线
和曲线
交于
两点，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知实数
满足关于
的不等式
的解集为
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训练

数学（理科）答案

一．选择题：CABCC ADCCA DB

二．填空题：13．
； 14．40； 15．
； 16．16

三．解答题：

17．【解答】：（Ⅰ）
,则
的最大值为
,最小值为
；

（2）由
知，
，由
知，
，则

18．【解答】：（Ⅰ）证明：由题意可知，在
中，
，在
中，
.所以
，

所以

，

所以
，又
侧面
，所以
.

又因为
，所以
平面
,所以
.

（Ⅱ）如图所示，分别以
所在的直线为
轴，
轴，
轴，以
为原点，建立空间直角坐标系，则
,

由
求得
,设平面
法向量为
，则求得
，

设直线
与平面
所成角为
，则

19．【解答】：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为
，

芯片乙为合格品的概率约为
．

（Ⅱ）随机变量
的所有取值为
．

；
；

；

所以，随机变量X的分布列为：























因为
,所以总利润的平均值为
的期望

20．【解答】：（Ⅰ）由定义
，

又

∴e=2

（Ⅱ）∴e=2，可设双曲线方程为：
，

即为

假设存在常数λ，使得
恒成立，取
，则
=90°，由于A（-a，0），∴
，∴
=45°，λ=2

以下证明一般性：任取
则

设
，则
，

这时

，∴恒有

21．【解答】：（Ⅰ）∵
，
在
处的切线方程为

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴

当
，
，当
，
，

∴
，即

（Ⅲ）【方法一】：由（Ⅱ）
知
，

对于任意给定的正数
，
，只要
，取
，

当
时，恒有

【方法二】：由（Ⅱ）
知

对于任意给定的正数
，
，只要
，取
，

当
时，恒有

【方法三】：显然对
都有

对于任意给定的正数