2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训练

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知全集
，集合
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

2．设复数的共轭复数为
，且满足
，
为虚数单位，则复数
的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

3．抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为
的概率是( )

A．
B．
C．
D．

4．已知
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．定义运算
为执行如图所示的程序框图输出的
值，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

6．已知向量
,
,
，若
，则向量
与向量
的夹角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数

，将
的图象向右平移
个单位长度后，所得图象关于
轴对称，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知一个棱长为
的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若整数
满足不等式组
，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

10．过抛物线

的焦点
作倾斜角为
的直线
交抛物线于
两点,且
,则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知数列
是等比数列，若
，则
（ ）

A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值

12．已知函数
（注：
是自然对数的底数），方程
，
有四个实数根，则
的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）

13.已知由一组样本数据确定的回归直线方程为
,且
,发现有两组数据
与
误差较大,去掉这两组数据后,重新求得回归直线的斜率为
,那么当
时,
的估计值为 ；

14．椭圆
的左右焦点分别为
焦距为
.若直线
与椭圆
的一个交点
满足
则该椭圆的离心率等于 ；

15．已知
,观察下列各式:


,类比得
,则
；

16．若数列
是正项数列，且
，则
；

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)己知函数
，

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（Ⅱ）设
的内角
的对应边分别为
，且
，
，若向量
与向量
共线，求
的值．

18．(本小题满分12分)在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
，
为
的中点，
与
交于点
，
侧面
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求三棱锥
的体积．

19．(本小题满分12分) 某微信群共有
人(不包括群主)，春节期间，群主发
个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个）．红包被一抢而空．据统计，
个红包中钱数（单位：元）分配如下表:

分组













频数













（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图；

（Ⅱ）估计红包中钱数的平均数及中位数；

（Ⅲ）若该群中成员甲、乙二人都抢到
元红包，现系统将从抢到

元及以上红包的人中随机抽取
人给群中每个人拜年，求甲、乙二人至少有一人被选中的概率．

20．(本小题满分12分) 已知圆
的圆心是直线
与
轴的交点,且圆
与直线
相切.

（Ⅰ）求圆
的标准方程；

（Ⅱ）过原点
的动直线
与圆
交于
两点,问
轴上是否存在定点
，使得当
变动时，总有直线
、
的斜率之和为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

21．(本小题满分12分)已知函数
的图像在
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）证明：当
时，恒有
；

（Ⅲ）当
时,
,求实数
的取值范围.

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的外接圆的切线
与
的延长线相交于点
，
的平分线与
相交于点
，
,

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的值．

23．（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），在以原点
为极点，
轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的普通方程和直线
的倾斜角；

（Ⅱ）设点
，直线
和曲线
交于
两点，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知实数
满足关于
的不等式
的解集为
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
．

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训练

数学（文科）答案

一．选择题：CABCD ABCBA DB

二．填空题：13．
； 14．
； 15．
； 16．

三．解答题：

17．【解答】：（Ⅰ）
,则
的最大值为
,最小值为
；

（Ⅱ）由
知，
，由
知，
，

又
,
则

18．【解答】：（Ⅰ）证明：由题意可知，在
中，
，在
中，

.所以
，所以

，

所以
，又
侧面
，所以
.

又
，所以
平面
,所以
.

（Ⅱ）在
中,

19.【解答】：（Ⅰ）略（Ⅱ）
=
(元)

设中位数为
,则
则
(元)

（Ⅲ）该群中抢到红包的钱数不小于
元的人数是
；记为：
甲，乙

现从这
人中随机抽取
人，基本事件数是：
甲，
乙,
甲，
乙,
甲,
乙；
甲,
乙,甲乙共
种

其中甲、乙二人至少有一人被选中的基本事件为：
甲，
乙,
甲，
乙,
甲,
乙,
甲,
乙,甲乙,共9种，

所以对应的概率为：

20．【解答】：（Ⅰ）圆心
,半径
, 圆
的标准方程为

（Ⅱ）存在定点
，且
，证明如下：

设
，
，直线
、
的斜率分别为
.

当
的斜率不存在时，由对称性可得
，
，符合题意

当
的斜率存在时，设
的方程为
，代入圆