西安市第一中学2016届高三第二学期第一次模拟考试

数学试卷（理科）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合
，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N=( )

A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2}

2.设i是虚数单位，则复数（1﹣i）(1+2i）=( )

A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i

3.已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为( )

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

4.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为( )

A．
B．2 C．
D．

5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

A．
B．
C．
D．

6.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为
，大正方形

的面积是
，小正方形的面积是
的值等于（ ）

A．1 B．
C．
D．

7.已知向量
=（cosα，﹣2），
=（sinα，1），且
∥
，则tan（α﹣
）等于( )

A．3 B．﹣3 C．
D．

8.下面命题中假命题是（　　）

　 A． ?x∈R，3x＞0

　 B． ?α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ

　 C． ?m∈R，使
是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增

　 D． 命题“?x∈R，x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，x2+1＞3x”

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=( )

A．1023 B．512 C．511 D．255

10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P

是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，

若
=3
，则|QF|=( )

A．
B．
C．3 D．6

11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，

则该三棱锥的外接球表面积( )

A.
B.
C.
D.

12.若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且

f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+

2af（x）+b=0的不同实根个数是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=______．

14.已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若?p是?q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_______．

15.如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E、F分别

为AD、CD的中点，则
=__________．

16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=
c，则ab的最小值为_______．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分12分）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=lnan，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn．

18.（本题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：

（1）求表中a，b的值

（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，

①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；

②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．

19.（本题满分12分）如图，在三棱锥D-ABC中，

DA=DB=DC, D在底面ABC上的射影E，

AB⊥BC，DF⊥AB于F．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，

求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.

20.（本小题满分12分）已知椭圆
的左右焦点分别为F1,F2，离心率为
，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A,B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值.

21.（12分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．

（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[
]上的最大值g（a）．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请在答题卡上涂黑所做题号.

22.已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的

延长线交于点E，且EF切⊙O于F．

（Ⅰ）求证：EB=2ED；

（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．

23.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线
的参数方程为：
（t为参数），两曲线相交于M，N两点．

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．

24.设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．

（1）求a的值；

（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．

试卷答案

1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.A 12.A 13.3 14.[8，+∞） 15.
16.

17.解：（I）设{an}是公比q大于1的等比数列，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，

∴6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=

+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，

联立解得a1=1，q=2．∴an=2n﹣1．6分

（II）bn=lnan=（n﹣1）ln2，∴数列{bn}的前n项和Tn=
ln2． 12分

18.解：（1）∵
=50∴a=
=0.5，b=
=0.3 3分

（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5

设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）

P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125 7分

②X的可能取值为4，5，6，7，8，则

p（X=4）=0.22=0.04 p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2 p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37

p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3 p（X=8）=0.32=0.09

所有X的分布列为：

EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2． 12分

19.（Ⅰ）如图，由题意知
平面

所以
，又
，所以
平面

又
平面
所以平面
平面
……4分

（Ⅱ）如图建系，则
，
，
，

所以
，

设平面
的法向量为

由
得
，取

设
与
的夹角为
，所以

所以
与平面
所成的角的正弦值为
8分

20.(I)由已知得
，又由
，可得
，
，

得椭圆方程为
，因为点
在第一象限且
轴，可得
的坐标为
，

由
，解得
，所以椭圆方程为
5分

(II)设
将
代入椭圆，可得

由
，可得
，则有

所以
因为直线
与轴交点的坐标为

所以
的面积

令
, 由①知

所以
时，面积最大为
. 12分

21.解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，

由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1

∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数， 6分

（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈ ， ∴﹣x∈ ， ∴ln（﹣x）∈ ，

①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，

fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1

②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，

fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2

③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a

∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，

∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，

∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）

综上：
（12分）

22.证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，

∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；

（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED?EC=EA?EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：

x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=2

23.解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，

用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．

（Ⅱ）直线l的参数方程为：
（t为参数），

代入y2=4x，得到
，设M，N对应的参数分别为t1，t2，

则 t1+t2=12
，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=
．

24.解：（1）函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，

它的最小值为|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a=7．

（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=
，故由f（x）≤5可得，

①，或
②，或
③．

解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，

所以不等式的解集为．

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