2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．复数
，
为的共轭复数，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
，则
的大小关系是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．4 D．6

4．已知等差数列
的前
项和为
，若
，且
三点共线（
为该直线外一点），则
等于（ ）

A．2016 B．1008 C．
D．

5．为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm以下的频率为（ ）

A．0.24 B．0.38 C．0.62 D．0.76

6．要得到函数
的图像，只需将函数
的图像沿x轴（ ）

A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

7．若命题p：所有对数函数都是单调函数，则
P为（ ）

A．所有对数函数都不是单调函数 B．所有单调函数都不是对数函数

C．存在一个对数函数不是单调函数 D．存在一个单调函数不是对数函数

8．已知
为椭圆
的左、右焦点，若
为椭圆上一点，且
的内切圆的周长等于
，则满足条件的点
有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

9．
的展开式中，
的系数为（ ）

A．60 B．30 C．20 D．10

10．若函数
没有零点，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知实数
满足
，则函数
有极值的概率（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若不等式
恰好存在两个正整数解，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）

13．若
，则
；

14．已知函数
（其中
）的图像如图所示，则函数
的解析式为 ；

15．已知抛物线C：
与点
，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若
，则
；

16．已知
是奇函数，且当
时，
（
），当
时，
的最小值是1，则
；

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分) 已知函数
，
．

（I）求函数
图像的对称轴方程；

（II）求函数
的最小正周期和值域．

18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系
中，已知四点
，
，
，
，把坐标系平面沿y轴折为直二面角．

(Ⅰ)求证：BC⊥AD；

(Ⅱ)求平面ADO和平面ADC的夹角的余弦值；

(Ⅲ)求三棱锥C—AOD的体积．

19．(本小题满分12分)有一个小型慰问演出队，其中有2人会唱歌，有5人会跳舞，现从中选2人．设
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且
．

(Ⅰ)求该演出队的总人数；

(Ⅱ)求
的分布列并计算
．

20．(本小题满分12分) 已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点．

（I）若
是第一象限内该椭圆上的一点，
，求点P的坐标；

（II）设过定点M（0，2）的直线
与椭圆交于不同的两点A、B，且
为锐角（其中
为坐标原点），求直线
的斜率
的取值范围．

21．(本小题满分12分) 已知函数
和直线
．

（Ⅰ）当曲线
在点
处的切线与直线
垂直时，求原点
到直线
的距离；

（Ⅱ）若对于任意的
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）求证：
．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA＝
CE，求∠ACB的大小.

23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在极坐标系ox中，P为曲线
：
上的任意一点，点Q在射线OP上，且满足
，记Q点的轨迹为
．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
：
分别交
与
交于A、B两点，求
．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

（Ⅰ）已知
，关于
的不等式:
的解集为R.求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
的最小值为
，又
是正实数，且满足p＋q＋r＝3m，求证：p2＋q2＋r2≥3.

数 学（理科）参考答案

一．选择题：

CADBA ACCBD BA

二．填空题：

13.
14.
15. 2 16. 1

三．解答题：

17．(本小题满分12分)

[解析]（I）由题设知
．令

，

所以函数
图像对称轴的方程为
（
）．

（II）

．

所以，最小正周期是
，值域

18．(本小题满分12分)．

19．（本小题满分12分）[解析]：设既会唱歌又会跳舞的有
人，则文娱队中共有
人，那么只会一项的人数是
人.

（1）
，

∴
，即
，

∴
. 故文娱队共有5人

（2）
，

的分布列为

0

1

2



P









 ∴

20．（本小题满分12分）

[解析]（I）因为椭圆方程为
，知
，
，设
，

则
，

又
，联立
，解得
，

（II）显然
不满足题意，可设
的方程为
，设
，

联立

，

且△

又
为锐角，
，
，
，

又
，
，

21．(本小题满分12分)

[解析]（Ⅰ）

∴
，于是
， 直线l的方程为
……3分

原点O到直线l的距离为

（Ⅱ）
，

设
，即

①若
，存在
使
，
，这与题设
矛盾

②若
，方程
的判别式
，

当
，即
时，
，

∴
在
上单调递减，

∴
，即不等式成立

当
时，方程
，设两根为
，

当
单调递增，
与题设矛盾，综上所述，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
时，
成立．

不妨令
，

所以
，

累加可得

．

22.【解析】（1）连接
,可证
,

所以DE是圆O的切线.

(2)

23. 【解析】（1）
(2)

24. 【解析】

（I）不等式


，
，
，
，
所以，实数
的取值范围为
.

（Ⅱ）由(1)知p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.当且仅当
等号成立。

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