2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练

数 学（文科）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知
,则
等于（ ）

A．
B．1 C．3 D．

2．若直线
的方向向量分别为
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

3．对具有线性相关关系的变量
，测得一组数据如右表所示，由最小二乘法求得回归方程为
，则表中看不清的数据为（ ）

A．4.8 B．5.2 C．5.8 D．6.2

4．若两个正实数
满足
，且不等式
有解，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 函数
的值域是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．函数
的单调增区间是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距依次成等差数列，则该双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在
中，

，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
，
是曲线
围成的封闭区域，若向区域
上随机投一点P，则点
落入区域
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．数列
满足
，若
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为(　　)

12．已知函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）

13．若命题“存在
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 ；

14．执行如下图所示的程序框图，若输入的
值为2，则输出的
值是 ；

15．已知直线
恒过定点
，若点
平分圆
的弦
，则弦
所在的直线方程是 ；

16．设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的最大值为____；

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）

17（本小题满分12分）．已知等差数列
的各项均为正数，
，且

，
，
成等比数列．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
．

分 组

频 数

频 率



[80,90）



0.04



[90,100）

9





[100,110）



0.38



[110,120）

17

0.34



[120,130]

3

0.06



18（本小题满分12分）某班
名学生在2015年某次数学测试中，成绩全部介于80分与130分之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[80，90）；第二组[90，100）…第五组[120，130]，下表是按上述分组方法得到的频率分布表：

（Ⅰ）求
及分布表中
的值；

（Ⅱ）数学老师决定从第一组和第五组的学生中随机抽取2名进行交流，求第一组至少有一名学生被抽到的概率；

（III）设从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩分别记为
，求事件“
”的概率．

19（本小题满分12分）如图，
为圆
的直径，点
、
在圆
上，
，矩形
所在平面和圆
所在的平面互相垂直．已知
,
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设几何体
、
的体积分别为
、
，求
的值.

20（本小题满分12分）已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
.

（I）求椭圆E的方程；

（II）设经过
点的直线
交椭圆异于A、B的两点M,N，试证明直线AM与BN的交点在一条定直线上，并求出该直线的方程．

21（本小题满分12分）．已知函数
其中

（I）当
，求
的单调区间和极值；

（II）当
时，
存在两个极值点
，试比较
与
的大小，并说明理由.

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
是圆的平行弦，
,
交
于点
、交圆于
，过点
的切线交
的延长线于点
，

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求证：
．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的
极坐标方程为
，直线
的参数方程为：
(
为参数)，点
的坐标为(-2，-4)，直线
与曲线
分别交于
两点．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若
成等比数列，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）若
时，解不等式：
；

（Ⅱ）若对任意
,都存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练

数 学（文科答案）

一．选择题：CAACD CBCBC BA

二．填空题：13．
； 14．4； 15．
； 16．4．

三．解答题：

17．【解】：（I）由题意设
，

得
,
;

（II）

18．【解】：（Ⅰ）

(4分)

（Ⅱ）设第5组的3名学生分别为
,第1组的2名学生分别为
，

则从5名学生中抽取两位学生有：
，共10种可能．

其中第一组的2位学生
至少有一位学生入选的有：

，共7种可能，

所以第一组至少有一名学生被老师抽到的概率为
（8分）

（III）第1组
中有2个学生，数学测试成绩设为
第5组[120，130]中有3个学生，数学测试成绩设为
， 则
可能结果为

共10种

使
成立有
共4种

所以
即事件“
”的概率为
. （12分）

19．【解】：（Ⅰ）证明：如图.
平面
平面
,
,

平面
平面
=
，

平面
．

平面
，
，

又
为圆
的直径，
，

平面
．

平面
，

平面
平面
． (6分)

【注】也可证明
平面
.

（Ⅱ）几何体
是四棱锥、
是三棱锥，

过点
作
，交
于
．

平面
平面
，
平面
．

则
，
．

因此，
． (12分)

20．【解】：20．【解】：

（I）设椭圆E:
,将A,B,C代入得

（II）将直线
代入椭圆方程得
，设

，则
，

直线AM的方程为
，即
，

直线BN的方程为
，即
，

联立得

或

，所以直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

21.【解】：（Ⅰ）
,

所以
上递减，在
上递增。故
，无极大值.（6分）

（Ⅱ）
,

设t=
,则

又
，所以
在
上单调递减，

(12分)

22.【解】：（Ⅰ）由切割线定理知:
,又PC=ED=1,得CE=2,连接BC,

,又
,
,

（Ⅱ）
由
,得到EF=BE

23.【解】：解：（Ⅰ）C:

（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得

因为

由题意知，

代入得

24.【解】：（Ⅰ）不等式的解集为
。

（Ⅱ）由题意知函数
的值域为函数
的值域的一个子集，而

，有