文科数学试题

（满分：150分 ，考试时间 ：120分钟）

第一部分（选择题 共60分）

一、选择题(共12个小题,每小题5分,计60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 已知全集U=R，
，
，则
=

A．{x|x≥l} B．{x|1≤x
2} C．{x|0≤x
l} D．{x| O
x≤l}

2. 复数
，
，则

A．1 B．
C．
D．

3.如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数x的取值范围是

A.
B.
C.
D.

4. 若
，
是第三象限的角，则

A．
B．
C．
D．

5.某长方体的三视图如右图，长度为
的体对角线在正视图中的投影长度为
， 在侧视图中的投影长度为
，则该长方体的全面积为

A.
B.
C.6 D.10

6.已知
，记数列
的前n项和为
，

则使
的n 的最小值为

A.13 B.12 C.11 D.10

7.已知双曲线
的离心率为2，则
的值为

A.
B.
C.
D.

8. 盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm， 两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降（ ）cm.

A .
B.
C. 2 D. 3

9.函数
，
的图像可能是下列图形中的

10. 过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

11.定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立，则

A．
B．
C．
D．

12．已知条件
的一个充分不必要条件是
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D .

第二部分（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题---第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题---第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)

13.在平面直角坐标系中，不等式组
(
为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数
的值为 .

14.已知向量
且A,B,C三点共线，则k= .

15.在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝，则sin ∠ABD等于 .

16. 已知数列
的前
项和构成数列
，若
，则数列
的通项公式
________.

三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
图像的对称中心；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值和最大值．

18．（本小题满分12分）

某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机

抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：

第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组

[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]

得到的频率分布直方图如图所示．

(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；

(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组

中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，设四棱锥
的底面为菱形，

且∠
，
，
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设P为SD的中点,求三棱锥
的体积.

20.（本小题满分12分） 设函数

（Ⅰ）若
=
，求
的单调区间；

（Ⅱ）若当
≥0时，
≥0，求
的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N（如图）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求
的最小值，并求此时圆T的方程；

（Ⅲ）设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与
轴交于点R，S，O为坐标原点.求证：
为定值.

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
切⊙
于点E，割线PBA交⊙
于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D．求证：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
：
， 圆
：
.

（Ⅰ）当
=
时，求
与
的交点坐标：

（Ⅱ）过坐标原点O做
的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当
变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）画出函数

的图像；

（Ⅱ）若不等式

的解集非空，求
的取值范围.

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题意）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

B

C

C

B

C

B

D

A





二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)

13. 1 ； 14.
； 15.
； 16.

三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)
………3分

函数
图像的对称中心是
………6分

(Ⅱ)

………12分

18．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)由题设可知，第
组的频率为
，

第
组的频率为
，

第
组的频率为
． ……………………3分

(Ⅱ)第
组的人数为
，

第
组的人数为
，

第
组的人数为
．因为第
，
，
组共有
名学生，

所以利用分层抽样在
名学生中抽取
名学生，每组抽取的人数分别为：

第
组：
， 第
组：
，第
组：
．

所以第
，
，
组分别抽取
人，
人，
人． …………………7分

(Ⅲ)设第
组的
位同学为
，
，
，

第
组的
位同学为
，
，第
组的
位同学为
．

则从六位同学中抽两位同学有：

共
种可能． ……………9分

其中第
组的
位同学为
，
至少有一位同学入选的有：

共
种可能， ……………11分

所以第
组至少有一名学生被甲考官面试的概率为
． ………12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接
，取
的中点
，连接
、
，
，

，
，
，

又四棱锥
的底面为菱形,且∠
，

是等边三角形，

，

又
，
，
，

面

………6分

（Ⅱ）
=
=
-
=
=

………12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
时，
，

当
时
;当
时，
;当
时，

故
在
，
单调增加，在（-1，0）单调减少 ………6分

（Ⅱ）
令
，则

若
，则当
时，
，
为增函数，

而
，
，从而当x≥0时
≥0.

若
，则当
时，
，
为减函数，而
，从而当
时

＜0，即
＜0，不合题意.综合得
的取值范围为
……12分

21．（本小题满分12分）

解：（I）由题意知
解之得；
，由
得b=1，

故椭圆C方程为
; …………3分

（II）设

此时
圆T的方程为
……8分

(Ⅲ)设

由M,P,R三点共线可得
同理可得

为定值 ……12分

22.证明：（Ⅰ）
切⊙
于点
，

平分

，

………………5分

（Ⅱ）

∽
，

同理
∽
，

………………10分

23.解：（I）当
时，C1的普通方程为
，C2的普通方程为