理科数学试题

（满分：150分 ，考试时间 ：120分钟）

第一部分（选择题 共60分）

一、选择题(共12个小题,每小题5分,计60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集U=R，
，
，则
=

A．{x|x≥l} B．{x|1≤x
2} C．{x|0≤x
l} D．{x| O
x≤l}

2.复数
，
，则

A．1 B．
C．
D．

3.如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数x的取值范围是

A.
B.
C.
D.

4.某长方体的三视图如右图，长度为
的体对角线在正视图中的投影长度为
，在侧视图中的投影长度为
，则该长方体的全面积为

A.
B.
C.6 D.10

5.已知
，记数列
的前n项和为
，

则使
的n 的最小值为

A.13 B.12 C.11 D.10

6.过抛物线
焦点的条直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B横坐标之和等于5，则这样的直线

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

7.函数
，
的图像可能是下列图形中的

8. 6名同学安排到3个社区A、B、C参加服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为

A．12 B．9 C．6 D．5

9.已知双曲线
的离心率为2，则椭圆
的离心率为

A.
B.
C.
D.

10.已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg)＝

A．－1 B．0 C．1 D．2

11．设圆O的半径为3，直径AB上一点D使＝3，E、F为另一直径的两个端点，则·＝

A．－8 B．－6 C．－5 D．－3

12.定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立，则

A．
B．

C．
D．

第二部分（非选择题 共90分）

二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)

13.在平面直角坐标系中，不等式组
(
为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数
的值为 .

14.已知向量
且A,B,C三点共线，则k= .

15.在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝，则
等于 .

16.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面

半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_______cm.

三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和构成数列
，数列
的前
项和构成数列
．若
，求

（Ⅰ）数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列
的通项公式．

18．（本小题满分12分）

如图,已知四边形ABCD是矩形,AB =2BC =2,三角形PAB是正三角形,且平面ABCD⊥平面PCD.

(Ⅰ)若O是CD的中点,证明：BO⊥PA；

(Ⅱ)求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）设
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意
恒成立．试比较
与
的大小．

20．（本小题满分12分）

食品安全是关乎到人民群众生命的大事。某市质检部门为了解该市甲、乙两个食品厂生产食品的质量，从两厂生产的食品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：

规定：当食品中的此种元素含量不小于18毫克时，该食品为优等品.

（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；

（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数
的分布列及其数学期望
；

（Ⅲ）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
的焦距为
，离心率为
，其右焦点为
，过点
作直线交椭圆
于另一点
．

（Ⅰ）若
,求
外接圆的标准方程；

（Ⅱ）若过点
的直线与椭圆
：
交于
两点，
为坐标原点，设
为椭圆
上一点，满足
．当
时，求实数
的取值范围．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
切⊙
于点E，割线PBA交⊙
于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D．求证：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
：
， 圆
：
.

（Ⅰ）当
=
时，求
与
的交点坐标：

（Ⅱ）过坐标原点O做
的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当
变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）画出函数

的图像；

（Ⅱ）若不等式

的解集非空，求
的取值范围.

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题意）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

C

B

C

B

C

D

A

B



二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)

13. 1 ； 14.
； 15.
； 16. 4 .

三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当n=1时，a1＝b1＝(2×1?1)?31+4＝7； ………………………2分

当n≥2时，an=bn-bn-1=[（2n-1）?3n+4]-[（2n-3）?3n-1+4]

=4n?3n-1，这里n=1时，4n?3n-1=4≠7． ………………………4分

综上所述:
． ………………………5分

（Ⅱ）设Sn＝1?31+3?32+5?33+…+(2n?1)?3n，

则3Sn=1?32+3?33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1，………………………6分

相减得?2Sn＝1×3+2×(32+33+…+3n)-（2n-1）?3n+1

=3-9+9×3n-1-（2n-1）?3n+1

=-6-（2n-2）?3n+1， ………………………9分

∴Sn＝3+(n?1)?3n+1． ………………………10分

因此cn＝Sn+4n＝3+(n?1)?3n+1+4n ………………………12分

18．（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)证法一:连接OA、OP

∵四边形ABCD是矩形,且AB=2BC,O是CD的中点,

∴BO⊥AO .①

又∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD

AD
平面ABCD，AD
CD ∴AD
平面PCD.

而PD
平面PCD，∴AD
PD，同理BC
PC.

在直角
ADP和直角
BCP中，AD=BC,PA=PB

∴PC=PD

∴PO
CD又PO
平面PCD

∴PO
平面ABCD，而BO
平面ABCD

∴BO
PO ②

由①②及AO
PO=O，AO、PO
平面PAO得

BO
平面PAO，又PA
平面PAO

∴BO
PA.

证法二：∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD

AD
平面ABCD，AD
CD ∴AD
平面PCD.

而PD
平面PCD，∴AD
PD，同理BC
PC.

在直角
ADP和直角
BCP中，AD=BC,PA=PB

∴PC=PD

取AB的中点Q，连接OP、OQ，则OP、OC、OQ两两互相垂直………………2分

以O为原点分别以OC、OP、OQ为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

∵AB=2BC=2，∴A（-1,0,1），B（1,0,1）

又
PAB是正三角形，
PCD是等腰三角形，

OP=
, ∴P(0,
,0)

从而，
,
,

∴
.………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：
,
,设平面BPA的法向量为

由
取
得

所以平面BPA的一个法向量为
………………8分

又
，
，设平面DPA的一个法向量为

由
， 取
得

所以平面DPA的一个法向量为
………………10分

故二平面PAB与平面PAD夹角的余弦值为
. ………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f ′(x)＝．……………2分

∵a＝1，b＝－1，

∴f ′(x)＝＝（x＞0）． ………………3分

令f ′(x)＝0，得x＝1．

当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x＞1时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增． ………………4分

∴f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．…………………5分

（Ⅱ）由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，即x＝1是f(x)的极值点，

∴f ′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a． ………………7分

令g(x)＝2－4x＋lnx（x＞0），则g′(x)＝．

令g′(x)＝0，得x＝． ………………9分

当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；

当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减． ………………10分

∴g(x)≤g()＝1＋ln＝1－ln4＜0．

∴g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，

故lna＜－2b． …………………………………12分

20．（本小题满分12分）

的分布列为

21．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由题设知，
，则
，从而
，

所以，椭圆
的方程为
． ………………2分

可得
．

设
，则
，由
，得

，即