2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练

数 学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知
,则
等于（ ）

A．
B．1 C．3 D．

2．设随机变量
,若
,则
（ ）

A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8

3．对具有线性相关关系的变量
，测得一组数据如右表所示，由最小二乘法求得回归方程为
，则表中看不清的数据为（ ）

A．4.8 B．5.2 C．5.8 D．6.2

4．若两个正实数x,y满足
，且不等式
有解，则实数m的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．
的展开式中
的系数为-192，则实数
=（ ）

A．
B．2 C．
D．4

6．已知函数
，且
在区间
上递减，则
等于（ ）

A．3 B．2 C．6 D．5

7．若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距依次成等差数列，则该双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在
中，AB=3，BC=2，
，则AC等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
，B是曲线
与
围成的封闭区域，若向区域A上随机投一点P，则点P落入区域B的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．数列
满足
，若
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）

13．若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 ；

14．执行如下图所示的程序框图，若输入的
值为2，则输出的P值是 ；

15．过抛物线
焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，O为坐标原点，若
,则
的面积为 ；

16．设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的最大值为____；

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）

17（本小题满分12分）．已知等差数列
的各项均为正数，
，且

，
，
成等比数列．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
．

18（本小题满分12分）．某权威机构发布了2015年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”，随后，该市某校学生会组织部分同学用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，以小数点后的一位数字为叶)．

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16

人中随机选取3人，至多有一人是“极幸福”的概率；

（III）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人

数很多）任选3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列和数学期望．

19（本小题满分12分）．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
面ABCD,E,F分别为AB,PC的中点．

（Ⅰ）求证：
面PAD；

（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二

面角Q-AP-D的余弦值为
？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

20（本小题满分12分）．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
.

（I）求椭圆E的方程；

（II）设经过
点的直线
交椭圆异于A、B的两点M,N，试证明直线AM与BN的交点在一条定直线上，并求出该直线的方程．

21（本小题满分12分）．已知函数
其中

（I）当
，求
的极值；

（II）当
时，
存在两个极值点
，试比较
与
的大小；

（III）证明：
.

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB,CD是圆的平行弦，
,BF交CD于点E、交圆于F，过点A的切线交DC的延长线于点P，PC=ED=1，PA=2．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）求证：BE=EF．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
，直线
的参数方程为：
(
为参数)，点P的坐标为(-2，-4)，直线
与曲线C分别交于A，B两点．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若
成等比数列，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）若
时，解不等式：
；

（Ⅱ）若对任意
,都存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练

数 学（理科答案）

一．选择题：CCACB BBCDC BA

二．填空题：13．
； 14．4； 15．
； 16．4．

三．解答题：

17．【解】：（I）由题意设
，
得
。

（II）

18．【解】：（I）众数：8.6；中位数：8.75

（II）设
表示所取三人中有i个人“极幸福”，至多有一人是“极幸福”记为事件A,则

(III)

【解】: X的所有可能取值为0，1，2，3，

X的分布列为

19．【解】：（I）以点A为坐标原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AP为z轴正方向建立空间直角坐标系，则D(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2),C(1,1,0),平面PAD的一个法向量为
,则有EF
面PAD.

（II）存在这样的点Q,为线段EF的中点。

证明：设
平面APQ的一个法向量为
，则

取
，得
，

由图可知该二面角为锐二面角，
，
,

所以点Q为线段EF中点。

20．【解】：

（I）设椭圆E:
,将A,B,C代入得

（II）将直线
代入椭圆方程得
，设

，则
，

直线AM的方程为
，即
，

直线BN的方程为
，即
，

联立得

或

，所以直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

21.【解】：（Ⅰ）
，

所以
上递减，在
上递增。故
，无极大值.

（Ⅱ）
,

设t=
,则

又
，所以
在
上单调递减，

(III)由（Ⅱ）知，当
时，
，令

得
，则
，叠加得

，即

22.【解】：（Ⅰ）由切割线定理知:
,又PC=ED=1,得CE=2,连接BC,

,又
,
,

（Ⅱ）
由
,得到EF=BE

23.【解】：解：（Ⅰ）C:

（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得

因为
由题意知，

代入得

24.【解】：（Ⅰ）不等式的解集为
。

（Ⅱ）由题意知函数
的值域为函数
的值域的一个子集，而

，有

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