2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练

数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知
为实数,若复数
为纯虚数,则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．已知双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则实数
的值是（ ）

A．4 B．
C．
D．

3．在等比数列
中，若
，
是方程
的两根，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．命题“
，
或
”的否定形式是（ ）

A．
，
或
B．
，
或

C．
，
且
D．
，
且

5.设函数
，则
是( )

A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数

C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数

6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．在棱长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于(　　)

A. B. C. D.

9．已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．9 B．17 C．5 D．15

10．已知
的三个顶点
,
,
的坐标分别为
，O为坐标原点，动点
满足
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．如图，平面中两条直线
和
相交于点O，对于平面上任意一点M，若
、
分别是M到直线
和
的距离，则称有序非负实数对（
，
）是点M的“距离坐标”．已知常数
≥0，
≥0，给出下列命题：

①若
＝
＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点

有且仅有1个；

②若
＝0，且
＋
≠0，则“距离坐标”为

（
，
）的点有且仅有2个；

③若
≠0，则“距离坐标”为（
，
）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3．

12．已知点A是抛物线
的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，点P在该抛物线上且满足
，当
取最小值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答

题卡相应的位置）

13.已知
,则
的值为 ；

14. 数列
的前
项和为
， 若
， 则数列
的通项公式
＝ ；

15.设函数
为
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为 ；

16.阅读如图所示程序框图，若输出的
，则满足条件的整数
共有 个.

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分) 设
的内角
所对的边长分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求边长
；

（Ⅱ）若
的面积
，求
的周长
．

18．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
是等边三角形，已知
，
．

（Ⅰ）设
是
上的一点，证明：平面
平面
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积．

19．(本小题满分12分) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

甲 乙

7 4 5

5 3 3 2 5 3 3 8

5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5

8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9

7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8

2 0 9 0

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；

（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为
，估计
的值;

(Ⅲ)在乙校抽取的样本中，从80分以上的个体中随机抽取两个，求抽到的两个个体都达到优秀（85分及85分以上为优秀）的概率.

20．(本小题满分12分)已知双曲线
：

的一条渐近线与直线
交于点
，双曲线
的离心率
，
是其右焦点，且
．

（Ⅰ）求双曲线
的方程；

（Ⅱ）过点
（0，1）的直线l与双曲线
的右支交于不同两点
、
，且
在
、
之间，若
且
，求直线l斜率
的取值范围．

21．（本小题满分12分)已知函数
，其中
为常数，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）当
时，求
的最大值；

（Ⅱ）若
在区间
上的最大值为
，求
的值；

（Ⅲ）当
时，判断方程
是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
．

（Ⅰ） 求
长；

（Ⅱ）当
⊥
时，求证：
．

23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
(
为参数)，以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
的参数方程为
(
为参数)，求直线
被曲线
截得的弦长．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
，
．

（Ⅰ）解关于
的不等式
；

（Ⅱ）若函数
的图像恒在函数
图像的上方，求实数
的取值范围．

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数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题： BCADA CDBBA DC

二．填空题 13）-1 14) an＝

15)
16) 32

三．解答题：

17．解：（1）由
与
两式相除，有：

又通过
知：
， 则
，
，则
．

（2）由
，得到
．由
，解得：
，

最后
．

18.（Ⅰ）证明：在
中，

由于
，
，
，

所以
．故
．

又平面
平面
，平面
平面
，

平面
，所以
平面
，

又
平面
，故平面
平面
．

（Ⅱ）解：过
作
交
于
，

由于平面
平面
，所以
平面
．

因此
为四棱锥
的高，又
是边长为4的等边三角形．

因此
．在底面四边形
中，
，
，

所以四边形
是梯形，在
中，斜边
边上的高为
，

此即为梯形
的高，所以四边形
的面积为
．

故
．

19．解：(I)

(II)

=

=

(III) 所有基本事件共有15种情况。 其中达到优秀的情况列举如下：（85,85），（85,88），（85,90），（85,88），（85,90），（88,90），共6种。设所求事件的概率为

20．解：（1）由对称性，不妨设M是右准线
与一渐近线
的交点，其坐标为M（
），

∴
，又

∴
，
，解得
，

所以双曲线C的方程是

（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点
，

由
得：
，

l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，∴

∴
且
①

又

且P在A、Q之间，