2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知
为实数,若复数
为纯虚数,则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．已知双曲线
的虚轴长是实轴长的2倍，则实数
的值是（ ）

A．4 B．
C．
D．

3．在等比数列
中，若
，
是方程
的两根，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．命题“
，
或
”的否定形式是（ ）

A．
，
或
B．
，
或

C．
，
且
D．
，
且

5．由曲线
和曲线
所围成的图形的面积为（ ）…

A．
B．
C．
D．

6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．在棱长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
的三个顶点
,
,
的坐标分别为
，O为坐标原点，动点
满足
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．9 B．17 C．5 D．15

10．已知函数
(
为常数,
)在
处取得最小值,则函数
是（ ）

A.最大值为
且它的图象关于点((,0)对称

B.最大值为
且它的图象关于点
对称

C.最大值为
且它的图象关于直线
对称

D.最大值为
且它的图象关于直线
对称

11．已知点A是抛物线
的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，点P在该抛物线上且满足
，当
取最小值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．设函数
，
，
，
（
），记
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答

题卡相应的位置）

13.已知
,则
的值为 ；

14.阅读如图所示程序框图，若输出的
，则满足条件的整数
共有 个；

15.若

则
= ；

16.设函数
为
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)已知等比数列
的前
项和
（
为常数）．

（Ⅰ）求
及数列
的通项公式；

（Ⅱ）设

，求数列
的前
项和
．

18．(本小题满分12分)在四棱锥
中，
⊥平面
，
∥
，
，
．

(Ⅰ)证明：
⊥平面
；

(Ⅱ)若二面角
的大小为60°，求
的值．

19．(本小题满分12分)随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为
．

（Ⅰ）求
的分布列；

（Ⅱ）求1件产品的平均利润；

（III）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为
，一等品率提高为
．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？

20．(本小题满分12分)已知双曲线
：

的右准线与一条渐近线交于点
，
是右焦点，若
，且双曲线
的离心率
．

（Ⅰ）求双曲线
的方程；

（Ⅱ）过点
（0，1）的直线l与双曲线
的右支交于不同两点
、
，且
在
、
之间，若
且
，求直线l斜率
的取值范围．

21．(本小题满分12分)已知函数
，
，

（Ⅰ）若函数
有极值1，求
的值；

（Ⅱ）若函数
在
上为减函数，求
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
．

（Ⅰ） 求
长；

（Ⅱ）当
⊥
时，求证：
．

23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
(
为参数)，以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
的参数方程为
其中
为参数，求直线
被曲线
截得的弦长．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
，
．

（Ⅰ）解关于
的不等式
；

（Ⅱ）若函数
的图像恒在函数
图像的上方，求实数
的取值范围．

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数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题： BCADA CDABC CA

二．填空题 13）-1 14)32 15)―448 16)

三．解答题：

17．【解】：（1）

（2）

两式相减得

18．【解】：(Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得

CE＝
＝1， DE＝
＝3，

所以BE＝DE，从而得

∠DBC＝∠BCA＝45°，

所以∠BOC＝90°，即

AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．

方法一：

(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．

由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°．

在Rt△DOH中，由DO＝
，得OH＝
．

在Rt△PAC中，
＝
．设PA＝x，可得
＝
．

解得x＝
，即AP＝
．

方法二：

(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间

直角坐标系O－xyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：

A(0，－
，1)， B(
，0，0)，

C(0，
，0)， D(－
，0，0)．

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－
，t) (t＞0)．

设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由
＝(－
，－
，0),

＝(－
，
，－t)知

取y＝1，得

m＝(－2，1，
)．

又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，

于是|cos< m，n>|＝
＝
＝
．

解得t＝
，即AP＝
．

19．【解】．（1）
的所有可能取值有6，2，1，-2；

，
，

，

故
的分布列为：

6

2

1

-2





0.63

0.25

0.1

0.02





（2）

（3）设技术革新后的三等品率为
，则此时1件产品的平均利润为

依题意，
，即
，解得

所以三等品率最多为

20．【解】解：（1）由对称性，不妨设M是右准线
与一渐近线
的交点，其坐标为M（
），

∴
，又
,

∴
，
，解得
，

所以双曲线C的方程是

（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点
，

由
得：
，

l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，∴

∴
且
①

又

且P在A、Q之间，
，∴
且
，

∴
∴
，

=
在
上是减函数（

）,∴
,

∴
,由于
，∴
②

由①②可得：
，

即直线l斜率取值范围为

21．【解】：（Ⅰ）

，∵定义域
，∴当
时，