哈尔滨市第三中学2016届高三下学期三模试题

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，
，则集合
（ ）

A．
B．
或
C．
D．

2.已知复数
，则复数
所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.对于函数
，命题“
”是“
是奇函数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

4.已知函数
，
，则函数
的单调递减区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.已知
是边长为4的等边三角形，则
的斜二测直观图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A．1 B．
C．
D．0

7.设
满足约束条件：
，则
的最小值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8.已知
为等差数列，则下列各式一定成立的是（ ）

9.已知双曲线
的右焦点为
，若过点
且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.从抛物线
的准线
上一点
引抛物线的两条切线
、
，
，
为切点，若直线
的倾斜角为
，则
点的纵坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，把函数
的零点从小到大的顺序排成一列，依次为
，则
与
大小关系为（ ）

A．

B．

C．

D．无法确定

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.哈三中高三一模理科参加数学考试学生共有1016人，分数服从
，则估计分数高于105分的人数为 .

14.已知向量
，
的夹角为
，
，
，则
.

15.已知
，
，现向集合
所在区域内投点，则该点落在集合
所在区域内的概率为 .

16.在
中，角
的对边分别为
，若
，
边的中线长为1，则
的最小值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知各项均不为0的等差数列
前
项和为
，满足
，
，数列
满足
，
.

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
.

18.某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.

（1）估计直方图中网购金额的中位数；

（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为
，求
的分布列与数学期望.

19.已知四边形
为矩形，
，
，且
平面
，点
为
上的点，且
平面
，点
为
中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求
与平面
所成线面角的正弦值.

20.已知椭圆
：
，斜率为
的动直线
与椭圆
交于不同的两点
、
.

（1）设
为弦
的中点，求动点
的轨迹方程；

（2）设
、
为椭圆
的左、右焦点，
是椭圆在第一象限上一点，满足
，求
面积的最大值.

21.已知函数
，
，
，
.

（1）当
时，判断
的单调性；

（2）若
恒成立，求实数
的取值集合.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，
为以
为直径的圆
的切线，
为切点，
为圆周上一点，
，直线
交
的延长线于点
.

（1）求证：直线
是圆
的切线；

（2）若
，
，求线段
的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（1）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程；

（2）已知点
，曲线
与曲线
的交点为
，求
.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求函数
的最小值
；

（2）当
时，求证：
.

2016年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试理科数学答案

1-12 BCBDA CBBCA BA

13 508 14
15
16

17. 解：（I）

则
；-----------------------------------------------3分

；-------------------------------------------------------------------6分

（II）
，

则

18. （I）中位数是13； ……………………………………………………………4分

（II）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从
，所以
可能取值为
，且
, …………………6分

………8分

所以
的分布列为












[



……………………………10分

数学期望
……………………………12分

19. 解：（I）取
中的
，连接
、

因为
平面
,所以
为中点，

,

四边形
为平行四边形，

平面
. ………4分

（II）因为
平面
，所以
为中点，
，

因为
平面
，所以

平面

所以


………7分

以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系



………9分

平面
的法向量为

所以线面角正弦值为
………12分

20. 解：（Ⅰ）设
，
（1）
（2）

（1）-（2）得：
，即
………….3分

又由中点在椭圆内部得
，

所以
点的轨迹方程为
,
………….5分

（Ⅱ）由
，得
点坐标为
， ………….6分

设直线
的方程为
，代入椭圆方程中整理得：

，由
得

则
………….7分

，
………….9分

所以
………….10分

，当
时，

………….12分

21. 解：（1）当
时，设

………………………………………………2分

故
在
上单调递增 ……………………………………………….4分

（2）设

，因为
，

所以
递增.所以有：

当
时，
，所以
单调递增，所以
，成立；……………………….6分

当
时，
，所以
单调递减，欲证不等式不成立；

当
时，设
零点为
，则当
时
递减

递增，从而当
，
，与前提矛盾………………………….8分

综上，此时
.

再设

设
，易求
，

再令
，易知

且
，从而由零点存在定理知。必存在唯一零点