西宁市2015--2016学年度三校联考数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知复数z满足z(1＋i)2＝1－i，则复数z对应的点在________上(　　)

A．直线y＝－x B．直线y＝x C.直线y＝－ D．直线x＝－[

3.已知
，且
，则向量
与向量
的夹角为

A.
B.
C.
D.

4．已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M＝2a，N＝5－b，P＝ln c，则M，N，P的大小关系为(　　)

P＜N＜M B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．N＜P＜M

5.在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和为Sn＝42，则n＝(　　)

A.6 B．5 C．4 D．3

6.已知
中，内角
的对边分别为
，若
，
，则
的面积为

A.
B. 1 C.
D. 2

7．把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图像沿
轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数g(x)的图像关于直线x= 对称，则m的最小值为　　（　　　）

Ａ．
　 Ｂ．
　　 Ｃ．
Ｄ．

8. 已知函数
，若函数
在R上有两个零点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知双曲线 ( =1(a>0,b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于
两点，
是坐标原点，若
则双曲线的离心率( )

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．
D．错误！未找到引用源。

10．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于63的概率为(　　)

A. B. C. D.

11．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是　

 B． C． D．

已知函数
是R上的偶函数，在
上为减函数且对
都有
，若
是钝角三角形
的两个锐角，则（ ）

与
的大小关系不确定

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．若实数x，y满足
，则
的最大值是__________。

14.已知
则
______

15．设
，则
展开式的常数项为______．

16．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC的内切球半径为__________。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a，b）在直线4xcosB－ycosC＝ccosB上．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若
，b＝3
，求a和c．

18．(本小题满分12分)如图，平面
平面
，四边形
为矩形，
．
为
的中点，
．

（1）求证：
；

（2）若
时，求二面角
的余弦值．

19．(本小题满分12分)为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试

⑴ 根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关

优秀

非优秀

总计



甲班









乙班



30





总计

60







⑵为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为，得80分以上的概率为，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量X表示甲班通过预选的人数，求X的分布列及期望E（X）.

附: k2= , n=a+b+c+d

P(K2>k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005



k0

2.706

3.84

5.02

6.635

7.879





20. (本小题满分12分)已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
．

（1）求椭圆的方程．

已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

21．(本小题满分12分)已知函数
，
.

若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

令
，是否存在实数
，当
（
是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图所示，
为圆
的直径，
，
为圆
的切线，
，
为切点.

⑴ 求证：
；

若圆
的半径为2，求
的值.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+)．

（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线
上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

⑴ 已知
都是正数，且
，求证：
；

已知
都是正数，求证：
.

西宁市2015--2016学年度三校联考数学试题答案

选择题: CCBAD CADCA DA

填空题：13. 2 14.
15.160 16.

三．解答题

17题答案（12分）：

（Ⅰ）由题意得
，……………………………（1分）

由正弦定理得
，
，
，

所以
，………………………………………（3分）

即
，

所以
，…………………………………………………（5分）

又
，

所以
.………………………………………………………………………………（6分）

(Ⅱ）由
得
，又
，所以
.………………（9分）

由
，
可得
，

所以
，即
，……………………………………………………………（11分）

所以
.…………………………………………………………………………（12分）

18题答案（12分）

（1）证明：连结
，因
，
是
的中点，故
．

又因平面

平面
，故
平面
， 于是
．又
，所以
平面
，所以
，又因
，故
平面
，所以
． 5分

（2）由（1），得
，不妨设
，
，取
的中点
，以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，则
，从而

设平面
的法向量
，由
，

得
，

同理可求得平面
的法向量
，设
的夹角为
，则
，

由于二面角
为钝二面角，则余弦值为
. 7分

19．答案(12分)．解（1）2×2列联表如下

优秀

非优秀

总计



甲班

40

20

60



乙班

20

30

50



总计

60

50

110



由
算得，

，所以有99%的把握认为环保知识与专业有关 （4分）

（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M,N,R分别表示小王，小张，小李通过预选，则P（M）=， P（N）=P（R）=  （5分）

∴随机变量X的取值为0，1，2，3 （6分）

所以P(x=0)=P()=×× = , P(x=1)=P(M+N+R)= ××+××+××= , P(x=2)=P(MN+NR+MR)= ××+××+×× = , P(x=3)=P(MNR)= ×× =  （10分）

所以随机变量X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











E(X) =0×+1×+2×+3× =  （12分）

20答案．解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

　　依题意
　解得　

∴　椭圆方程为　
．…………………4分　　

（2）假若存在这样的k值，由
得

．

　　∴　
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　设
，
、
，
，则
　　　　　　　　　　　　②

　　…………………………………………8分

而
．

　　要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则
，即
．…………………………………………10分

　　∴　
．　　　　　　　　　　　　　　　③

　　将②式代入③整理解得
．经验证，
，使①成立．

　　综上可知，存在
，使得以CD为直径的圆过点E．………………………12分

21答案（12分）试题解析：（1）
在
上恒成立，

令
，有
得
，得
. 5分

（2）假设存在实数
，使
有最小值3，

①当
时，
在
上单调递减，
，
（舍去），

②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增