哈尔滨市第九中学 2015---2016 年学年度下学期高三学年第四次模拟考试数学学科试卷（理科）

（考试时间：120 分钟 满分：150 分 共 2 页 命题人：林琳王巍） -+3ì第 I 卷(选择题共 60 分)

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数
（ i 是虚数单位）的虚部是

A. 1 B. i C.
D.2 i

2.设集合A ???x| lg?10 ??x2????0?，集合B ??x| 2x?
?，则A ??B ?

A. ???3,1?????B. ???1,3???C. ???3,?1?????D. ?1,3?

3.
的展开式中，x的系数为

A.40 B.-40 C.80 D.-80

4.命题“若 x2??4 ，则 x ??2 且 x ???2”的否命题为

A.若 x2??4 ，则 x ??2 且 x ???2 B.若 x2??4 ，则 x ??2 且 x ???2

C.若 x2??4 ，则 x ??2 或 x ???2 D.若 x2??4 ，则 x ??2 或 x ???2

5.抛物线 y ??4a x2?a ??0??的焦点坐标是

A. ?0,a??????B. ?a,0??????C.(0,
) D.(
, 0)

6.执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为( )

A．7 B．9

C．3 D．11

7.已知甲,乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同, 平均数也相同,则图中的 m, n比值
?

A.
B.
C. 1 D.

8.设a, b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是

A. 存在唯一平面??，使得 a ????，且 b //? B. 存在唯一直线 l ，使得 l // a ，且 l ??b

C. 存在唯一直线 l ，使得 l ??a ，且 l ??b D. 存在唯一平面??，使得 a ????，且 b ???

9.已知实数 x, y 满足
,若目标函数 z ??2 x ??y 的最大值与最小值的差为2,则实数 m的值为

A. 4 B.2 C.3 D. ?

10.一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为

A. 24?????????????B. 6?

C. 4??????????????D. 2?

11.为得到函数 y ??sin
的图象，可将函数 y ??sin x 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移 n 个单位长度（ m ， n 均为正数），则| m ??n|的最小值为

A.
B.
C.
D.

12.已知函数 f ??x????
,要使f ?x?恒有两个零点，则 a 的取值范围是

A.
B.?1, e???????C. ?1,
??????D.

第Ⅱ卷（非 选择 题共 90 分）

二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分)

13.已知向量
是两个不共线的向量，若
与
共线，则 ??=_______________

14.由曲线y=x2,y=
围成的封闭图形的面积为___________________．

15.在小语种提前招生考试中，某学校获得 5 个推荐名额，其中俄语 2 个，日语 2 个，西班牙语 1m个，日语和俄语都要求有男生参加．学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 名推荐对象，则不同的推比值=乙甲n荐方法共有__________________．

16.已知数列 ?a n?的通项公式为
，其前 n 项和为 Sn，则 S 60 ???????????????????

三、解答题(共 70 分)

17.(本题满分 12 分)

在 ?ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，点 (a, b) 在直线 2x cos B ??y cos C ??c cos B 上.

求证：

(1) 求 cos B 的值；

(2) 若 a ???
????, b ??2, 求角 A 的大小及向量
在
方向上的投影.

18. (本题满分 12 分)

在某地区举行的一次数学竞赛中，随机抽取了 100 名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：+

（1）求抽取的样本平均数
和样本方差S2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次考试共有 2000 名考生参加， 如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N
（其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差S2），且规定827 .分是复试线，那么在这 2000 名考生中，能进入复试的有多少人？（附：
.若z～N
，则
， 结果取整数部分）

（3）已知样本中成绩在[90,100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为
，求
的分布列与期望E（
）

19. (本题满分 12 分)

如图，四棱锥 P ??ABC D 中，底面 ABC D是直角梯形， ?D AB ??900 , AD // BC ,

AD ??侧面PAB ， ?PAB 是等边三角形, DA ??AB ??2 ， BC ????
AD, E 是线段 AB 中点。

（1）求证： PE ??CD ；

（2）求三棱锥 P-CDE 的表面积。

20. (本题满分 12 分)

已 知 平 面 上 的 动 点P( x, y)及 两 定 点A(?2,0), B(2,0), 直 线PA, PB斜 率 分 别 为k1 , k2且k1??k2???
，设动点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点 T (4,0) 的直线与曲线C交于 M , N 两点，过点M作 M Q ??x轴 ，交曲线C于点 Q .

求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标。

21. (本题满分 12 分)已知函数

（1）求函数y =f(x)的零点个数；

（2）若函数y =g(x)在(0,
)内有极值，求实数a的取值范围；

（3）对任意的
, 求证：

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上填涂题号对应标记。

22.（本题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲

如图，已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆， AB ??BC ， AD 是 BC 边上的高，

AE 是圆 O 的直径．过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F .

(1)求证： AC ??BC ??AD ??AE ；

(2)若 AF ??2, CF ?
，求 AE 的长．

23.（本题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程[

在 平 面 直 角 坐 标 系 中 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为
（t为参数），若以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ??(1??cos 2??) ??8cos??.

（1）求曲线 C 的直角坐标方程；

（2）若直线 l 与曲线 C 相切，求直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积.

24．（本题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲

已知 a ??0,b ??0, a ??b ??1, 求证：

（1）

（2）

九中四模数学答案（理科）

1-12 CCADCD DABBBA

13-16

24 120

17.

(1)
在直线
上,所以
,由正弦定理得
,

所以
因为
所以
…6分

(2)
,因为
由正弦定理得
,

.
在
方向上的投影为
……12分

18.

19.（1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，所以AD⊥PE．又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB．因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．而CD?平面ABCD，所以PE⊥CD． ….4分

(2)解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则
，
，设
为平面PDE的法向量，由
，即