哈尔滨市第六中学2016届高三下学期第二次模拟考试（4月）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知双曲线的标准方程为
，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.集合
，集合
，其中
为虚数单位，则集合
的真子集的个数是（ ）

A．3 B．4 C．7 D．8

3.“函数
在
上有零点”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.有6人入住某家庭旅馆的6个不同房间，其中的一楼有两个房间，二楼有两个房间，三楼有两个房间，若每人随机地入住这6个房间中的一个房间，则其中的甲乙两人恰好在同一楼层的两个房间的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.以下四个命题中：

（1）在回归分析中，可用相关指数
的值判断模型的拟合效果，
越大，模型的拟合效果越好；

（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数
越接近于1；

（3）若统计数据
的方差为1，则
的方差为2；

7.若在
的展开式中含有常数项，则正整数
取最小值时的常数项为（ ）

A．
B．
C．
D．135

8.正项等比数列
中，
，则数列
的前
项积
中的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知在三棱锥
中，
，
，
，
，
，且平面
平面
，那么三棱锥
外接球的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.设
满足不等式组
，若
的最大值为
，最小值为
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线

，
是实轴顶点，
是右焦点，
是虚轴端点，若在线段
上（不含端点）存在不同的两点
，使得
构成以
为斜边的直角三角形，则双曲线离心率
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.函数
，直线
与函数
的图象交于四个不同的点，交点横坐标从小到大依次记为
，下列说法正确的个数是（ ）

①
；②
；③
；

④若关于
的方程
恰有四个不同实根，则
的取值范围是
.

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.某次测量发现一组数据
具有较强的相关性，并计算得回归方程为
，其中测得的一个数据
，因书写不清，只记得
是
内的任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率

.（残差=真实性-预测值）

14.如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
值为 .

15.已知
是圆
上的两个动点，
是线段
上的动点，当
的面积最大时，
的最大值为 .

16.定义在
上函数
满足对任意
，都有
，记数列
，有以下命题：

①
；②
；③令函数
，则
；

④令数列
，则数列
为等比数列.

其中真命题的序号为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）已知函数
，其中常数
.

（1）若
在
上单调递增，求
的取值范围；

（2）令
，将函数
的图象向左平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数
的图象，区间
满足：
在
上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的
中，求
的最小值.

18.（12分）每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情. 2016年春节期间，小鲁在自己的微信好友群中，向在线的甲、乙、丙、丁四位好友随机发放红包，发放的规则为：每次发放一个，每个人抢到的概率相同.

（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少抢到一个红包的概率；

（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有10元，一个红包中有5元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为
元，求随机变量
的分布列和数学期望.

19.（12分）如图所示的几何体中，四边形
为等腰梯形，
，
，
平面
，
，
.

（1）求证：
平面
；

（2）若
中，
，
，求二面角
的余弦值.

20.（12分）已知抛物线
，过点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
，直线
的斜率为
.

（1）求抛物线
的标准方程；

（2）与圆
相切的直线
（其中
），与抛物线交于
两点，若在抛物线上存在点
，使
，求
的取值范围.

21.（12分）已知函数
，（
为常数）.

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）若
，
，求证：
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆
的半径为6，线段
与圆
相交于点
，
，
，
与圆
相交于点
.

（1）求
的长；

（2）当
时，求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中：已知曲线
.

（1）求曲线
的参数方程；

（2）曲线
上任意点
（除短轴端点外）与短轴两个端点
连线分别为与
轴交于
两点，
为坐标原点，求证：
为定值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，其中
，
.

（1）若
，
，求不等式
的解集；

（2）若
是
中最大的一个，当
时，求证：
.

参考答案

一、选择题

DABBB ACADB BB

二、填空题

13.
14. 0 15.
16.①②

三、解答题

17.解：（1）因为
，

根据题意有，
，∴
.

故若
在
上至少含有20个零点，则
的最小值为
.

18.（1）设“甲至少得1红包”为事件
，由题意得：

.

（2）由题意知
可能取值为
，

，
，

，
，

，
，

所以
的分布列为

.

19.（1）证明：∵
，
，∴
，∵
，

∴
，∴
，∵
，
面
，∴
面
.

（2）以
为坐标原点，
为
轴，过点
作
的平行线为
轴，建立空间直角坐标系，

设
，则
，由条件得：

，作
，则可证
平面
，且
.

∴
，

设面
的法向量
，
，则
.

设面
的法向量
，
，则
.

，则二面角的余弦值为
.

20.（1）设
，

则点
处抛物线的切线为
，过点
，因而
；

同理，点
处抛物线的切线为
，过点
，因而
.

两式结合，说明直线
过
两点，也就是直线
的方程为
.

由已知直线
的斜率为
，知
.

故所求抛物线的方程为
.

（2）直线
的方程为
，又直线
与圆
相切，

所