哈尔滨市第六中学2016届高三第一次模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（
为虚数单位）的共轭复数为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．集合
，则
的子集个数为（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）4个 （D）8个

3．有下列四个说法：

①命题“
”的否定是“
”；

②“命题
为真”是“命题
为真”的必要不充分条件；

③命题“已知
，若
或
，则
”的逆命题为真命题；

④在区间
上随机取一个数
，则事件“
”发生的概率为
；

其中正确的个数是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

4．已知
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）

（A）0 （B）2 （C）4 （D）6

5．已知
，则向量
与
的夹角为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积比为（ ）

（A）
（B）

（C）2
＋1 （D）

7．甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则
为（ ）

（A）3:2 （B）2:3

（C）3:1 或5:3 （D）3:2 或7:5

8．已知某随机变量X的概率密度函数
满足
，当
时，
，则随机变量X落在区间
内的概率为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

9．
中，角
对应的边分别为
，

若
成等差数列，且
，

则
等于（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

10．老师为哈六中某位同学的高考成绩
设计了一个程序框图，

执行如图所示的程序，若输出的数码为
，

则这位同学的高考分数
是（ ）

（A）682 （B）683 （C）692 （D）693

11．已知
且
，
，下列关于三个函数
的说法

正确的是（ ）

（A）三个函数的单调性总相同

（B）当
时，对任意
，

（C）当
时，三个函数没有公共点

（D）任意
，三个函数都与直线
相交

12．设双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，过
作
的垂线与双曲线交于
两点，过
分别作
的垂线交于
，若
到直线
的距离不小于
，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知二项式
的展开式中第三项的系数与
的展开式中第二项的系数相等，其中
为锐角，则
=

14．在平面直角坐标系
中，以点
为圆心且与直线
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________________

15．长方体
中，
，点
是
中点，点
，
，则
长度最小值为______________

16．已知函数
恰有3个零点，则实数
的取值范围是______________

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

正项数列
前
项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，数列
的前
项和为
，证明：
．

（18）（本小题满分12分）

哈六中数学组推出微信订阅号（公众号hl15645101785）后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3

栏目1

栏目2

合计



家长









学生









合计









（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；

（2）如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量
，求
的分布列和期望；

（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由．

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（
，其中
.）

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，

，

，
平面
，侧面
底面

（1）求
的值；

（2）求直线
与面
所成角
的大小．

（20）（本小题满分12分）

抛物线
，过点
的直线
与
交于
两点，且
（
为坐标原点）面积的最小值为2

（1）求抛物线
的方程；

（2）直线
上的点
满足
，求点
的轨迹方程．

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，
，求
的取值范围；

（3）证明：
，使得
．

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，正
中，点
在边
上，
在边
上，且
，

，
，
相交于点

（1）证明：
四点共圆；

（2）当点
是
中点时，求线段
的长度．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
，

曲线
，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线

与曲线
交于
两点，与曲线
交于
两点，且
最大值为

（1）将曲线
与曲线
化成极坐标方程，并求
的值；

（2）射线
与曲线
交于
两点，与曲线
交于
两点，求四边形
面积的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
均为正数，且

（1）证明：
；

（2）求
的最大值．

理科数学

1-12 ACCDB ADAAC CB

13.
14.
15.
16.

17.（1）
时，

时，因为
，
，所以

得
，所以数列
是以1为首项，2为公差的等差数列，所以

……6分

（2）
，

所以
，

，

所以
……6分

18.（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以
，列联表如图

栏目1

栏目2

合计



家长

25

5

30



学生

15

15

30



合计

40

20

60




，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”。 ……5分

（2）
的取值为0,1,2，由题意，
，

所以
，
，
，分布列如下

0

1

2













期望
……5分

（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，关注栏目1的人数多，所以应该充实栏目1的内容.

……2分

19.（1）因为
，面
底面
，面
面
，所以
面
，所以
，因为
平面
面，所以
，
，所以
面
，过点
做
的平行线为
轴，
分别为
轴建立空间直角坐标系，
，所以
，由
得