哈尔滨市第六中学2016届高三第一次模拟考试

文科数学试卷

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，

满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,

字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是

符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．（1，4） B．（2，4） C．（1，2） D．

2．已知
，
有解，
，
；

则下列选项中是假命题的为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．下面关于复数
的四个命题：
，
，
的共轭复数为
，

在复平面内对应点位于第四象限，其中真命题为 （ ）

A．
、
B．
、
C．
、
D．
、

4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产
产品过程中记录的产量
（吨）与相应的

生产能耗
（吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出
关于
的线性回归方程

为
，则下列结论错误的是 （ ）

x

3

4

5

6



y

2.5

t

4

4.5





A．线性回归直线一定过点

B．产品的生产能耗与产量呈正相关

C．
的取值是

D．
产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加
吨

5. 若抛物线
（其中角
为
的一个内角）的准线过点
，

则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
，若
是周期为
的偶函数，

则
的一个可能值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知数列
中，
，若利用下面程序框图

计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．在
中，角
所对的边分别为
，

若
，
，且
的面积

为
，则
的形状为 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．正三角形

9．已知向量
，

若向量
的夹角为
，则有 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知P是
所在平面内一点且
,现将一粒黄豆随机撒在
内，

则黄豆落在
内的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．如图，抛物线
和圆
，

其中
，直线
经过
的焦点，依次交
于
四点，

则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若存在
，使得
成立，

则实数
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．

13．如果圆
上总存在两个点到原点的距离为
，

则实数a的取值范围是_______________；

14．对满足不等式组
的任意实数x，y，

则
的最小值是__________；

15．体积为
的球
放置在棱长为4的正方体
上，

且与上表面
相切，切点为该表面的中心，

则四棱锥
的外接球的半径为___________；

16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，

在折起过程中，下列结论中能成立的序号为_______________；

① ED⊥平面ACD

② CD⊥平面BED

③ BD⊥平面ACD

④ AD⊥平面BED

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，
,
.

（1）求证：数列
为等比数列；

（2）设
，且数列
的前
项和为
，求
.

18．（本小题满分12分）

“节约行动”正在兴起，具有较强节约意识并付诸行动的人叫“节约族”，为了调查人们的节约意识，

某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区
岁的人群中随机抽取
人进行了一次调查，

得到如下统计表：

组数

分组

频数

频率

节约族占本组的比例



第一组

[25,30）

50

0.05

30%



第二组

[30,35）

100

0.1

30%



第三组

[35,40）

150

0.15

40%



第四组

[40,45）

200

0.2

50%



第五组

[45,50）





65%



第六组

[50,55）

200

0.2

60%



（1）求
的值，并估计本社区
岁的人群中“节约族”所占的比例；

（2）从年龄段在
的“节约族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，

并从这8人中选取2人作为负责人，求选取的2名负责人分别来自
和

两个年龄段的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
平面
，
，
、
分别是
、
的中点．

（1）判定
与
是否垂直，并说明理由.

（2）设
，若
为
上的动点，
与平面
所成最大角

的正切值为
，求四棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）

已知动圆
过点
，且与圆
相内切.

（1）求动圆
的圆心的轨迹方程；

（2）设直线
（其中
）与（1）中所求轨迹交于不同两点
，

与双曲线
交于不同两点
，问是否存在直线
，使得向量
，

若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）过点
作
的切线，求此切线的方程．

（2）若
对任意
恒成立，求实数k，b应满足的条件．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

22.（本小题满分10分）选修4 — 1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，直线
，
，

都是⊙
的割线，已知
．

（1）求证：
；

（2）若
，
，求
的值．

23.（本小题满分10分）选修4 — 4: 坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：
为参数)，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍和2倍后得到曲线C2 ;以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；

（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值.

24.（本小题满分10分）选修4 —5: 不等式证明选讲

已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

（1）当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

（2）若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

哈六中2016届高三第一次模拟考试文科数学试题答案

一、选择题：BBDC ABCC CDBD

二、填空题：13.
14. －2 15.
16. ④

三、解答题：

17. (1) 解：由
有
，相减得

∴
即
…… 2分 又
，解得
……3分

故
是以4为首项，2为公比的等比数列………………4分

（2）由（1）得
，
，……6分

，……8分
……10分

………12分

18. (1)
,第五组的频率0.3，第五组的人数300，样本中“节约族”人数为520，

所以样本中“节约族”所占比例为52％。…………6分

（2）
…………12分

19.（1）在
中，
，所以当
最短时，
最大，

即当
时，
最大．

此时
，

因此
．又
，所以
，

所以
．

（2）
………12分

20．（1）

（2）

9分

或
，解是
或
，共9条—————12分

21．（1）
………6分

（2）设H(x)＝f(x)－kx－b＝ex－kx－b，x∈[0，＋∞)，∴H′(x)＝ex－k，x∈[0，＋∞)．……7分

①当k≤1时，显然H′(x)≥0，则H(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增，

∴H(x)min＝H(0)＝1－b≥0，∴b≤1，即符合题意；……………………9分

②当k>1时，H(x)在x∈[0，ln k)上单调递减，x∈[ln k，＋∞)上单调递增，

∴H(x)min＝H(ln k)＝k－kln k－b≥0，∴b≤k(1－ln k)．……………………………11分

综上所述：满足题意的条件是或…………………………12分

22． (1) 因为
为切线,
为割线,
,

又因为
,所以
.所以
,又因为
,

所以
∽
,所以
,

又因为
,所以
,所以
------------------------------5分

(2)由题意可得:
四点共圆,
.

∽
.
. 又∵
,

=4 --------------10分

24。答案(1)
; (2)

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/