2016年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2． 设命题
：若
，
，则
；命题
：若函数

，则对任意
都有
成立．在命题①

； ②

； ③
； ④
中，真命题是

A．①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④

3．已知复数
，则

A．1 B．
C．
D．

4．口袋中有5个小球，其中两个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则在取到的两个球同色的条件下，取到的两个球都是白球的概率

A．
B．
C．
D．

5．已知
，
满足约束条件 则目标函数
的最大值为

A．
B．
C．
D．

6．如图，给出的是求
……
的值的一个程序框图，

则判断框内填入的条件是

A．
B．

C．
D．

7． 在平面直角坐标系中，双曲线
过点
，且其两条渐近线的方程分别为
和
，则双曲线
的标准方程为

A．
B．

C．
D．
或

8．已知函数
（
）的图象过点
，如图，则
的值为

A．
B．

C．
或
D．
或

9．等腰直角
中，
，
，
在
轴上，有一个半径为
的圆
沿
轴向
滚动，并沿
的表面滚过，则圆心
的大致轨迹是（虚线为各段弧

所在圆的半径）

10．已知数列
为等差数列，且公差
，数列
为等比数列，若
，
，则

A．
B．
C．
D．
与
大小无法确定

11．四棱锥
的底面是边长为 的正方形，高为1，其外接球半径为 ，

则正方形
的中心与点
之间的距离为

A． B． C． 或1 D． 或

12．已知点
为函数
的图像上任意一点，点
为圆


上任意一点，则线段
的长度的最小值为

A．
B．

C．
D．

2016哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．若
，则二项式
的展开式各项系数和为 ．

14．点
在
的边
所在直线上，且满足
（
），则在平面直角坐标系中，动点
的轨迹的普通方程为 ．

15．数列
中，
，前
项和为
，且
，则数列
的通项公式为 ．

一个空间几何体的三视图如图所示，

则这个几何体的体积为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

已知
．

（Ⅰ）若
，求
的值域；

（Ⅱ）在
中，
为
边所对的内角，若
，
，求
的最大值．

18．（本小题满分12分）

某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：

城市

A

B

C

D

E



4S店个数x

3

4

6

5

2



销量y(台)

28

30

35

31

26



（Ⅰ）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中

被选中的4S店个数X的分布列和期望．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

， ．

19．（本小题满分12分）

正方体
中，沿平面
将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线
的平面
与线段
交于点
．

（Ⅰ）当
与
重合时，求证：
；

（Ⅱ）当平面
平面
时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
，过其焦点作斜率为
的直线
交抛物线
于
、
两点，且
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）已知动圆
的圆心在抛物线
上，且过定点
，若动圆
与
轴交于
、
两点，求
的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
为常数），函数


，（
为常数，且
）．

（Ⅰ）若函数
有且只有1个零点，求
的取值的集合；

（Ⅱ）当（Ⅰ）中的
取最大值时，求证：
．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

等腰梯形
中，
∥
，
、
交于点
，
平分
，
为梯形
外接圆的切线，交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，
，
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(
为参数)， 在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的方程为
．

（Ⅰ）求曲线
、
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若
、
分别为曲线
、
上的任意点，求
的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，不等式
恒成立，求实数a的取值范围．

2016年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷（理工类）答案

一、选择题

DDADC BBADC BC

二、填空题

13．
14．
15．
16．

17．（Ⅰ）
， -------------3分

，
的值域为
；-------------6分

（Ⅱ）
，
，
，

-------------9分

，

．

的最大值为
． -------------12分

18．（Ⅰ）
，

-------------3分

，
y关于x的线性回归方程为：
．-------------6分

（Ⅱ）
的可能取值为：
．

，
，
，
．

-------------9分
























．-------------12分

19．（Ⅰ）连接
，在正方形
中，
，

正方体
中，
平面
，

平面
，
，
平面
，

，即
；-------------4分

（Ⅱ）正方体
中，
、
、
两两垂直，

分别以
、
、
为
、
、
轴建立空间直角坐标系，

设
，
，
，设
，

，
，设平面
的法向量为
，

则
，即
，令
，得
，

平面
的法向量为
，

平面
的法向量为
，

平面
平面
，
，得
，
，--------8分

设平面
与平面
所成锐二面角为
，

则
．-------------12分

20． 解：(1) 设抛物线的焦点为
，则直线
，

由
，得
-------------2分