2016年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题, 共60分）

选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

2. 已知
，集合
，集合
，若
，则

A．1 B．2 C．4 D．8

3. 若
，
，若


，则

A．
　 B．
C．
D.

4. 已知P(B|A)=
, P(A) =
, 则P(AB) =

A． B． C． D．

5． 已知数列
是等比数列，
是1和3的等差中项，则
=

A．
B．

C．
D．

6. 一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

A．　　　 B．　　 　C．　　 D.

7. 如果函数
的图像关于点
中心对称，那么
的最小值为

A．
B．
C．
D．

设点
为双曲线
上一点，
，
分别是左右焦点，
是

的内心，若
的面积
，
，
满足
，

则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

9. 已知
（
）是函数
的两个零点，若
，

，则

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

10. 已知函数
，则不等式
的解集为

A.
B.

C.
D.

11. 直线与抛物线
交于
两点，
为坐标原点，若直线
的斜率
，
满足
，则一定过点

A.
B.

C.
D.

12. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为
，在正方体表面上与点A距离是
的点形成一

条封闭的曲线，这条曲线的长度是

B．

C．
D.

2016年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落

到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 ．

14．
的二项展开式中，各项系数和为 .

下列命题：①已知
表示两条不同的直线，
表示两个不同的平面，并且
，则“
”是“
//
”的必要不充分条件； ②不存在
，使不等式成立
； ③“若
，则
”的逆命题为真命题；

④
，函数
都不是偶函数. 正确的命题序号是 ．

在
中，角
，
，
所对边的长分别为
，
，
，
为
边上一点，

且
，又已知
，

，则角
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）

数列
满足
，
．

(Ⅰ)求证数列
是等比数列；

(Ⅱ)证明：对一切正整数
，有
．

（本小题满分12分）

一个盒子里装有大小均匀的8个小球,, 其中有红色球4个, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色球4个, 编号分别为2, 3, 4,5. 从盒子中任取4个小球 (假设取到任何一个小球的可能性相同).

(Ⅰ) 求取出的4个小球中, 含有编号为4的小球的概率.

(Ⅱ) 在取出的4个小球中, 小球编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列.

（本小题满分12分）

边长为4的菱形
中，满足
，点E，F分别是边CD和CB的中点， AC交BD于点H ，AC交EF于点O，沿EF将
翻折到
的位置,使平面
,连接PA，PB，PD，得到如图所示的五棱锥
.

(Ⅰ) 求证：
；

(Ⅱ) 求二面角
的正切值．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆

的焦距为4，设右焦点为
，过原点
的直线与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
，线段
的中点为
，且
.

(Ⅰ) 求弦
的长；

(Ⅱ) 若直线的斜率为
, 且
, 求椭圆
的长轴长的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数

，
．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设函数
，求证：

（
）．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）

如图,
是⊙
上的两点，
为⊙
外一点，连结
分别交⊙
于点
，且
，连结
并延长至
，使
.

(Ⅰ) 求证：
;

(Ⅱ) 若
，且
，求
.

23.（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为
（t为参数）．在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）

中，圆C的方程为
．

(Ⅰ) 求圆C的直角坐标方程；

(Ⅱ) 设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为
，求|PA|＋|PB|．

24.（本小题满分10分）

关于
的不等式
的整数解有且仅有一个值为
(
为整数) .

（Ⅰ）求整数
的值;

（Ⅱ）已知
,若
, 求
的最大值.

一模理科数学答案

选择题

DABDD CCACC AD

填空题

13.
14 . 1 15. ① 16.

三．解答题

17.(1)由
有,
,又
,

所以
是以3位首相,3为公比的等比数列…………………..5分

(2)由(1)知
, ……………………………………..6分

又
, ……………………………………9分

故
……………………………….12分

18.（1）
…………………………….4分

（2）X的可取值为3,4,5 ……………………..5分

……………………………………………………..7分

………………………………………………...9分

……………………………………………….11分

X的分布列为

X

3

4

5



P











…………………12分

19.(1) 因为平面
,平面

则
,又

………………………………….6分

（2）以
为原点,
建立坐标系,则
, ……………………………8分

设

则
,
则
…….10分

…………………………..12分

20.（1）设
…………….2分

,则
, …………………….4分

所以
的长为
……………………………5分

（2）设方程为
,和椭圆方程
联立消元整理得

…………………7分

又
,则
………….10分

则
,长轴长范围是
…………………….12分

21. (1) 解:
,令
,则
,

则当
时,

单调递减,当
时,

单调递增.

所以有
,所以
…………………4分

(2) 当
时,
,令
,则
,则
单调递增,

当
即
时,
,
成立;

当
时,存在
,使
,则
减,则当
时,