大庆实验中学2016年高三得分训练（三）

数学试题（理科）

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)

1. 函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数满足
，则
等于(　 　)

A．
B．
C．
D．

3.某服装商场为了了解毛衣的月销售量
（件）与月平均气温
（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

月平均气温

17

13

8

2



月销售量
（件）

24

33

【来源：全,品…中&高*考+网】40【来源：全,品…中&高*考+网】

55



由表中数据算出线性回归方程
中的
气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，求该商场下个月毛衣的销售量（ ）

A．46 B．40 C．38 D．58

4．已知数列
的前
和为
，
．当
时，
，则
( )

A．
B．1006 C．1007 D．1008

5.已知函数
是定义在R上的奇函数，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．0

6.执行右边的程序框图，若输出
，则输入
( )

A．6 B．7 C．8 D．9

7. 直线
与圆
交于
两点，则
（
为坐标原点）等于（ ）…

A.
B.
C.
D.

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )

A．
B．

C．
D．

9．将函数
的图象向右平移
(
)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），所得图象关于直线
对称，则
的最小值为（　　） A．
B．
C．
D．

10.已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为(　　)

A.
B.
C.
D.

11．如图，已知双曲线C：
的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且
=3
，则双曲线C的离心率为（　　）

A．
B．
C．
D．

12.设满足方程
的点
的运动轨迹为曲线
，若在区间
内，曲线
有两个交点，则实数
的最大值为( )

A．4 B．
C．
D．

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．设
是等比数列
的前n项和，若
，则
的值是　 　．

14．若
，则

.

15．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位恰有1个相同的不同的选法种数是 .

16.已知点
，
，
，平面区域
是由所有满足

的点
组成的区域，若区域
的面积为16，则
的最小值为________.

三、解答题解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分12分）如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=27，设∠ACB=θ，C点到AD的距离为h．

（Ⅰ）求h（用θ表示）（Ⅱ）求AB+BC的最大值．

18．（本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
,规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”．

（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；

（Ⅱ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，

记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．

（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
，其中
，
为左、右焦点，O为坐标原点．直线
与椭圆交于
，
两个不同点．当直线
过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
时，原点O到直线
的距离为
．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为
时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|?|PQ|的最大值.

21.（本小题满分12分）设函数
.

（Ⅰ）当
时，讨论
的单调性；

（Ⅱ）当
时，设
在
处取得最小值，求证：
.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答。多做则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲．

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D.(1)求证：CD＝DA；

(2)若CE＝1，AB＝，求DE的长．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知参数方程为
（
为参数）的直线
经过椭圆
的左焦点
，且交
轴正半轴于点
，与椭圆交于两点
、
（点
位于点C上方）.

（Ⅰ）求点
对应的参数
（用
表示）；

（Ⅱ）若
，求直线
的倾斜角
的值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式

已知函数
．(1)若函数
的最小值为3，求
的值；

(2)在(1)的条件下，若直线
与函数
的图象围成一个三角形，求
的范围，并求围成的三角形面积的最大值．

答案:

一、选择：　DDADA CCDCD BD　　　　二、填空：

24

17.解：（Ⅰ）由已知得：∠ADC=360°﹣（90°+120°+60°+θ）=90°﹣θ…1分

在△ACD中，
…3分

∴AC=
=18
cosθ…4分

又∠CAD=30°+θ，且0＜θ＜60°，

∴h=AC?sin∠CAD=18
cosθsin（30°+θ），（0＜θ＜60°）…6分

（Ⅱ）在△ABC中，AB=
=18sin2θ，…7分

BC=
=36cosθsin（60°﹣θ）=9
…8分

∴AB+BC=9
+9
cos2θ+9sin2θ=9
+18sin（2θ+60°）…10分

∵0＜θ＜60°，…11分

∴当θ=15°时，AB+BC取到最大值9
…12分．

18. 解：（Ⅰ）设Ai表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，

至多1人评价该教师为“优秀”记为事件A，

则P（A）=P（A0）+P（A1）=
=
．

（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ=0）=（
）3=
， P（ξ=1）=
=
，

P（ξ=2）=
=
， P（ξ=3）=（
）3=
，

∴ξ的分布列为：

ξ

 0

 1

 2

 3



 P











Eξ=
=0.9．

19. 解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，

取AC中点O，连接BO，DO，

则BO⊥AC，DO⊥AC，…

又∵平面ACD⊥平面ABC，

∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，

∵BE和平面ABC所成的角为60°，

∴∠EBF=60°，

∵BE=2，∴
，…

∴四边形DEFO是平行四边形，

∴DE∥OF，

∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，

∴DE∥平面ABC．……

（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，

∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，

∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，

∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…

Rt△EFG中，
，
，
．

∴
．

即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为
．…

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

B（0，
，0），C（﹣1，0，0），E（0，
，
），

∴
=（﹣1，﹣
，0），
=（0，﹣1，
），

平面ABC的一个法向量为

设平面BCE的一个法向量为

则
，∴
，

∴
．…

所以
，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，

二面角E﹣BC﹣A的余弦值为
．…

20. 解：（I）直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
时，

∴直线l的方程为：y=x﹣c．

∵原点O到直线l的距离为
，

∴
，解得c=1．

又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
﹣1，

∴
﹣1，解得a=
，

∴b2=a2﹣c2=2．

∴椭圆C的方程为
．

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

①当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=﹣y2，

由
=1，|2x1?2y1|=
，解得
，|y1|=1．

∴|ON|?|PQ|=
．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，

联立
，化为（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，

由△＞0，解得3k2+2＞m2．

∴x1+x2=﹣
，x1x2=
，

∴|PQ|=
=
，

原点到直线l的距离d=
，

∴S△POQ=
=
=
，

化为3k2+2=2m2，满足△＞0．

设M（x0，y0）为PQ的中点，则x0=
=
，y0=kx0+m=
．

∴
=
=
，|PQ|2=
，

∴|OM|2|PQ|2=

，当且仅当m=
时取等号．

∴|OM||PQ|的最大值为
．

∴|ON|?|PQ|=2|OM||PQ|的最大值为5．

综上可得：ON|?|PQ|的最大值为5．

（III）由题意可得抛物线C2：y2=4x，

∵以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，∴∠ORS=90°．∴
=0．

设S（x3，y3），R（x4，y4），

则
=x4（x4﹣x3）+y4（y4﹣y3）=
+y4（y4﹣y3）=0．

∵y4（y4﹣y3）≠0，∴y4（y4﹣y3）=﹣16．

∴
≥8，或y3≤﹣8

x3≥
=16．

∴该圆面积最小时点S的坐标为（16，±8）．

21、解：（I）当
时，

因为
单调递增，
单调递增，所以
在
单调递增，且
，因此当
时，
；当
时，

故
在
单调递减，在
单调递增

（II）当
时，
，

因为
单调递增，
单调递增，所以
在
单调递增.

又
，

当
满足
且
时，
，

故
存在唯一零点，设零点为

当
时，
；当
时，
.

故
在
单调递减，在
单调递增，

所以当
时，
取得最小值，由条件可得
，
的最小值为

由于
，所以

设
，则

令
，得
；令
，得

故
在
单调递增，
单调递减，

故
.

22.解：(1)证明：

如图，连接AE，

∵AB是⊙O的直径，

AC，DE均为⊙O的切线，

∴∠AEC＝∠AEB＝90°，

∠DAE＝∠DEA＝∠B，

∴DA＝DE.

∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，

∴DC＝DE，

∴CD＝DA.

(2)∵CA是⊙O的切线，AB是直径，

∴∠CAB＝90°，

由勾股定理得CA2＝CB2－AB2，

又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝，

∴1·CB＝CB2－2，

即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2，

∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝.

由(1)知DE＝CA＝，…

所以DE的长为.

23．解：（Ⅰ）在椭圆
中，

∵
，
，∴
，即
，--------------------------2分

故
，在直线
的参数方程中，令
，解得
；--------------------4分

（Ⅱ）解法1：把
代入椭圆方程，并整理得：

，----------------------------------------------6分

设点
、
对应的参数为
、
，由
结合参数
的几何意义得：

，即
，----------------------------------------------8分

解得
，依题意知
，∴
．----------------------------------10分

【解法2：设A、B两点的横坐标分别为
、
，

将直线
的普通方程
代入椭圆方程并整理得：

，---------------------6分

则
，----------------------------------7分

∵
-------------------------8分

∴
,

解得
，依题意知
，得
. ------------------------10分】

24.解：(1)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a2|

＝

当x≤－1时，f(x)≥f(－1)＝2a2＋2，

－1＜x＜a2，f(a2)＜f(x)＜f(－1)，

即a2＋1＜f(x)＜2a2＋2，

当x≥a2，f(x)≥f(a2)＝a2＋1，

所以当x＝a2时，f(x)min＝a2＋1，由题意得a2＋1＝3，∴a＝±.

(2)当a＝±时，由(1)知f(x)＝



由y＝f(x)与y＝m的图象知，当它们围成三角形时，m的范围为(3，6]，当m＝6时，围成的三角形面积最大，此时面积为×|3－(－1)|×|6－3|＝6.

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