2016年大庆实验中学

文科数学得分训练试题（三）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若纯虚数
满足
，则实数
（ ）

A．0 B．-1或1 C．-1 D．1

3．命题“对任意
，都有
”的否定为（ ）

A．对任意
，都有

B．对任意
，都有

C．存在
，使得

D．存在
，使得

4. 已知向量
，
满足
，且
，
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．下列函数中，既是奇函数，又是在区间
上单调递减的函数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ）…

A．
B．
C．
D．

7. 已知
满足约束条件
，则下列目标函数中，在点
处取得最小值的是（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 对任意的非零实数
、
，若
的运算原理如图所示，且
表示
、
、
中的

最小值，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 若实数数列：
成等比数列，则圆锥曲线
的离心率是（ ）

A．
或
B．
或
C．
D．
或

10．已知函数
，则函数
的大致图像为（ ）

11．已知双曲线
：

上两点
关于原点对称，点
是双曲线
上异于
的一点，若
的连线的斜率为
（均不为0），若
的最小值为
，则双曲线
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
满足：
，那么下列不等式成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13．已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为 .

14．已知函数
在
内是增函数，则
的取值范围是 ．

15. 已知在三棱锥
中，
平面
，
，且在
中，
，则三棱锥
的外接球的体积为 ．

16．已知
中，
所对的边分别为
,

若
,则
的值为 .

三、解答题( 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分) 已知等比数列
中：
．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
．

18.(本小题满分12分) 大庆实验中学的同学们组织一个综合实践研究小组，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出
关于
的线性回归方程
．

（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?

（参考数据:

．）

（参考公式：
；其中
，
.）

19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥
中，
为菱形，
平面
，
，
是棱
上的动点，
面积的最小值是3．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积．

20. (本小题满分12分) 平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左焦点为
，离心率为
，过点
且垂直于长轴的弦长为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设点
分别是椭圆的左、右顶点，若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
．

①求证：
；

②求
面积的最大值．

21. (本小题满分12分) 设函数
（
）．…

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
，
时，求证：
．

请考生在第22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22.(本小题满分10分)选修4－1:几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，
是弦，
的平分线
交圆
于点
，
，交
的延长线于点
，
交
于点
．

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）若
，求
的值．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以坐标原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴，已知曲线
的参数方程为
为参数），M为曲线C上任一点，过点M作
轴的垂线段MN，垂足为N，MN中点P的轨迹方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的参数方程；

（Ⅱ）已知曲线
上的两点

，求
面积的最小值及此时
的值．

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）若
，解不等式：
；

（Ⅱ）若
恒成立，求
的取值范围．

2016年大庆实验中学

文科数学得分训练试题（三）参考答案

一、CDCDB DBBAA BA

二、13、
14、
15、
16、

三、

17. （Ⅰ）由
可得
，即
，

设
的公比为
，则
，故
，

所以
的通项公式为
．

（Ⅱ）
，

所以
，

18.解：（Ⅰ）
，

，

．

于是得到y关于x的回归直线方程
．

（Ⅱ）当
时，
，
；同样，当
时，
，
．

19. （Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴

∵
平面
， ∴
,

又

∴
平面
，
平面
， ∴

（Ⅱ）解：连接
∵
且
平面
，∴

又∵
且
为公共边，则
≌
，∴
，则
…6分

∵
， ∴

当
面积的最小值是3时，
有最小值1

∵当
时，
取最小值，∴
，

由
，得
，又

故

20.解：（Ⅰ）
， 又
，

所以
．

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）（i）当AB的斜率为0时，显然
，满足题意

当AB的斜率不为0时，设
，AB方程为
代入椭圆方程

整理得
，则
，所以

，

，即

（ii）

当且仅当
，即
．（此时适合△＞0的条件）取得等号．

三角形
面积的最大值是

方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：
，

设
，联立
，整理得
，

则
，所以

，

，即

（ii）

点

到直线
的距离为
，

=

．

令
，则
，

当且仅当
，即
（此时适合△＞0的条件）时，
，即

三角形
面积的最大值是

21.（Ⅰ）函数
的定义域为
， 当
时，
，

令：
，得：
或
，所以函数单调增区间为：
，

，得：
，所以函数单调减区间为：
，

（Ⅱ）若证
，
成立，只需证：

即：