2016-2017学年第一学期宝安区高三调研测试卷

数学（理科）

2016.9.13

全卷满分150分 考试时间120分钟

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合
，
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
（
为虚数单位）是纯虚数,则实数
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．点
是不等式组
表示的平面区域
内的一动点，且不等式
总成立，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（　　）

A．
　　B．
　　C．
　　D．1

5． 将函数
的图象上各点的横坐标压缩为原来的
倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（ ）

A．
B．

C．
D．

6．根据如图所示程序框图，若输入
，
，则输出
的值为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．如图，在
中，
，
的平分线交
于
，若
，且
，则
的长为(　　)

A．
B．
C．
D．

8．球
半径为
，球面上有三点
、
、
，
，
，则四面体
的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若
,且
,则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如果对于任意实数
，
表示不超过
的最大整数. 例如
，
；那么“
”是“
”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件? D．既不充分也不必要条件

11．已知F2 、F1是双曲线

的上、下两个焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．
C．3 D．

12．定义在R上的奇函数
满足
，且当
时，不等式
恒成立，则函数
的零点的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸
上）

13．二项式
的展开式中的常数项是___________．

14．已知实数
，函数
，若
，则
的值为________．

15．过点
的直线与圆
相切，且与直线
垂直，则
的值为____________．

16．已知
分别为
三个内角
的对边，
，
，若
的面积为
，则
____________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）已知等差数列
的首项
，且公差
，其前
项和为
，
分别是等比数列
的
项．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）证明：
≤

．

18．（本小题满分12分）高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分.” 某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：

（Ⅰ）得50分的概率；

（Ⅱ）得多少分的可能性最大；

（Ⅲ）所得分数
的数学期望．

19．（本小题满分12分）如图所示，已知
为圆
的直径，点
为线段
上一点，且
，点
为圆
上一点，且
．点
在圆
所在平面上的正投影为点
，
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
：
的一个焦点为
，左右顶点分别为
，经过点
的直线
与椭圆
交于
两点．

（1）求椭圆方程，并求当直线
的倾斜角为
时，求线段
的长；

（2）记
与
的面
积分别为
和
，求
的最大值．

21．（本小题满分12分）设函数

（1）若当
时，
取得极值，求
的值，并讨论
的单调性；

（2）若
存在极值，求
的取值范围，并证明所有极值之和大于
．(
，e为无理数）

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的切线，
是⊙
的割线，

，连接
，分别于⊙
交于点
，点
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆
的

方程为
（
为参数）．以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线
的极坐标方程
.

（Ⅰ）当
时，判断直线
与
的关系；

（Ⅱ）当
上有且只有一点到直线
的距离等于
时，求
上到直线
距离为
的点的坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）若对任意实数
，
成立，求实数
的值.

深圳市宝安区2016年高三摸底考试理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

C

D

A

C

B

A

C

A

A

C





二、填空题

13．
； 14．
； 15．
或
； 16． 2.

三、解答题

17. 解：(1)设等比数列的公比为q，

∵a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4，

∴(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)．(3分)

又a1＝3，

∴d2－2d＝0，

∴d＝2或d＝0(舍去)．

∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.

等比数列{bn}的公比为＝＝3，b1＝＝1.

∴bn＝3n－1.（6分）

(2)证明：由(1)知Sn＝n2＋2n，

∴＝＝，（8分）

∴＋＋…＋

＝

＝

＝－<.

∵＋≤＋＝，

∴－≥，

∴≤＋＋…＋<. （12分）

18.解：（1）得分为50分，10道题必须全做对.

在其余的四道题中，有两道题答对的概率为
，有一道题答对的概率为
，还有一道答对的概率为
，所以得分为50分的概率为：P＝
………（3分）

（2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.

得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：

同样可以求得得分为35分的概率为：

得分为40分的概率为：
; 得分为45分的概率为：
;

得分为50分的概率为：

所以得35分或得40分的可能性最大. ………………（8分）

（3）由（2）可知
的分布列为：

30

35

40

45

50



P














………（12分）

19．（（1）证明1：连接
，由
知，点
为
的中点，

又∵
为圆
的直径，∴
，

由
知，
，

∴
为等边三角形，从而
． （3分）

∵点
在圆
所在平面上的正投影为点
，∴
平面
，又
平面
，

∴
， 由
得，
平面
，又
平面
，∴
． （6分）

（注：证明
平面
时，也可以由平面
平面
得到．）

证明2：∵
为圆
的直径，∴
，

在
中设
，由
，
得，
，
，
，

∴
，则
，∴
，即
． （9分）

∵点
在圆
所在平面上的正投影为点
，∴
平面
，又
平面
，

∴
， 由
得，
平面
，

又
平面
，∴
． （12分）

证明3：∵
为圆
的直径，∴
，

在
中由
得，
，

设
，由
得，
，
，

由余弦定理得，
，

∴
，即
．

∵点
在圆
所在平面上的正投影为点
，∴
平面
，又
平面
，

∴
，由
得，
平面
，又
平面
，∴
．

（2）解法1（综合法）：过点
作
，垂足为
，连接
．

由（1）知
平面
，又
平面
，

∴
，又
，

∴
平面
，又
平面
，∴
，

∴
为二面角
的平面角．

由（1）可知
，
，

（注：在第（1）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度．）

∴
，则
，

∴在
中，
，

∴
，即二面角
的余弦值为
.

解法2：（坐标法）以
为原点，
、
和
的方向分别为
轴、
轴和
轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．

（注：如果第（1）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明
．）（2分）

设
，由
，
得，
，
，

∴
，
，
，
，

∴
，
，
，（3分）

由
平面
，知平面
的一个法向量为
．

设平面
的一个法向量为
，则

，即
，令
，则
，
，

∴
， （9分）

设二面角
的平面角的大小为
，

则
，

∴二面角
的余弦值为
．（12分）

20． （1）因为
为椭圆的焦点，所以
．

又
，所以，
，故椭圆方程为：
． ………………（2分）

因为直线
的倾斜角为
，所以斜率为1，直线
的的方程为
，

与椭圆方程联立得
，消去
得
，

设
，

则
；

所以
…………5分

（2）设直线
的方程为：