玉溪一中2017届高三年级上学期第三次月考

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 设函数
,
( )

A．12 B．9 C．6 D．3

3. 已知变量
与
负相关，且由观测数据算得样本平均数
，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. .已知
为等差数列，
，则
的前9项和
（ ）

A．9 B．17 C．81 D．120

5.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（ ）

A．2种 B．10种 C．12种 D．14种

6.下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
，且
则函数
的图象的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 设函数
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）

A．
　　　B．
C．
D．

9. 命题
“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.在
上随机地取两个实数
，
，则事件“直线
与圆
相交”发生的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 圆
和圆
恰有三条公切线，若
，且
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．3 C．
D．

12. 设函数
的定义域为R，
，对任意的
，则不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每题5分，满分20分）

13. 已知向量
，
，
，若
为实数，
，则
的值为 ．

14.已知命题
，命题
，若“
”为真，则x的取值范围是 .

15.函数
的单调递减区间是 .

16. 函数
，若方程
有三个实根，则m的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知
分别为
三个内角
的对边，
.

（1）求
；

（2）若
，求
的面积.

18. （12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为
，乙胜的概率为
，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.

（1）求甲获得比赛胜利的概率；

（2）设比赛结束时的局数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

19. （12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

（Ⅰ）证明AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

20. （12分）已知椭圆
过点
两点．

（1）求椭圆
的方程及离心率；

（2）设
为第三象限内一点且在椭圆
上，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求证：四边形
的面积为定值．

21.（12分）设函数
．

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的单调递减区间和极小值（其中
为自然对数的底数）；

（2）若对任何
恒成立，求
的取值范围．

请在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（10分）

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆
的极坐标方程为
．

（1）求
的参数方程；

（2）设点
在
上，
在
处的切线与直线
垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定
的坐标．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数
．（1）解不等式
；（2）若不等式
的解集不是空集，求实数
的取值范围．

玉溪一中2017届高三年级上学期第三次月考

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

BBCCD CABDD AA

二、填空题:

13.
14.
15.(2,
16.(0,1)

三、解答题

17. 解：(Ⅰ)

...................................................................................2分

.......................................................4分

即
,又

即

................................................................................................................6分

(Ⅱ)

...........................................8分

又由题意知
，

.(当
时等式成立.)...................................................................................10分

.............................................12分

18.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件
，

则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：

，
,
，..........3分

所以由互斥事件的概率加法公式可得，

甲获胜的概率为
..............................................6分

所以，
的分布列为

3

4

5














的数学期望
............................................................12分

19.解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，

因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，

所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，

又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，

又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．

以O为坐标原点，
的方向为x轴的正向，|
|为单位长，建立如图所示的坐标系，

可得A（1，0，0），A1（0，
，0），C（0，0，
），B（﹣1，0，0），

则
=（1，0，
），
=（﹣1，
，0），
=（0，﹣
，
），

设
=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则
，即
，

可取y=1，可得
=（
，1，﹣1），故cos＜
，
＞=
=
，

又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，

故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：
．

20.解：（1）由题意得，
，所以椭圆
的方程为
，

又
,

所以离心率
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设
，则
，

又
，所以直线
的方程为
，

令
，得
，从而
，

直线
的方程为
．

令
，得
，从而
，

所以四边形
的面积：

从而四边形
的面积为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　12分

21.解：（1）由条件得
，

∵曲线
在点
处的切线与直线
垂直，∴此切线的斜率为0，即

，有
，得
，

∴
，由
得
，由
得
．

∴
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时，
取得极小值
．

故
的单调递减区间为
，极小值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）条件等价于对任意
恒成立，

设
．　

则
在
上单调递减，

则
在
上恒成立，

得
恒成立，

∴
（对
仅在
时成立），

故
的取值范围是
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22.解：（1）
的普通方程为
．可得
的参数方程为

（
为参数，
）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）设
，由（1）知
是以
为圆心，1为半么的上半圆．因为
在点
处的切线与
垂直，所以直线
与
的斜率相同，
．

故
的直角坐标为
，即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

23．解：（1）
，

当
时，由
，解得
；

当
时，
，不成立；

当
时，由
，解得
．　

所以不等式
的解集为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）∵
，∴
，

又不等式
的解集不是空集，

所以，
，所以
，

即实数
的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分