吉林省长春市2017届高三质量监测（一）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数
在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.已知集合
，则
（
为自然数集）为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.
是边长为1的等比三角形，已知向量
满足
，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）

A．164石 B．178石 C．189石 D．196石

5.命题：“
，使
”，这个命题的否定是（ ）

A．
，使
B．
，使

C．
，使
D．
，使

6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则
处条件可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知递减等差数列
中，
，
成等比，若
为数列
的前
项和，则
的值为（ ）

A．-14 B．-9 C．-5 D．-1

8．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知原点到直线
的距离为1，圆
与直线
相切，则满足条件的直线
有多少条？

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）

11.双曲线
的左右焦点分别为
，
为右支上一点，且
，
，则双曲线的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知实数
满足
，实数
满足
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.
展开式中的常数项是 .

14.动点
满足
，则
的最小值为 .

15.已知三棱锥
，满足
两两垂直，且
，
是三棱锥
外接球上一动点，则点
到平面
的距离的最大值为 .

16.如图，直角
中，
，
，作
的内接正方形
，再做
的内接正方形
，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列
，其前
项和为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

已知
.

（1）求
的单调增区间；

（2）在
中，
为锐角且
，
，
，
，求
.

18. （本小题满分12分）

某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455
，已知当年产量低于350
时，单位售价为20元/
，若当年产量不低于350
而低于550时，单位售价为15元/
，当年产量不低于550
时，单位售价为10元/
.

（1）求图中
的值；

（2）试估计年销售额的期望是多少？

19. （本小题满分12分）

已知四棱锥
中，底面为矩形，
底面
，
，
，
为
上一点，且
平面
.

（1）求
的长度；

（2）求
与平面
所成角的余弦值.

20. （本小题满分12分）

以边长为4的等比三角形
的顶点
以及
边的中点
为左、右焦点的椭圆过
两点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过点
且
轴不垂直的直线
交椭圆于
两点，求证直线
与
的交点在一条直线上.

21. （本小题满分12分）

已知函数
，
，当
时，
与
的图象在
处的切线相同.

（1）求
的值；

（2）令
，若
存在零点，求实数
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
为圆
上一点，点
在直线
的延长线上，过点
作圆
的切线交
的延长线于点
，
.

（1）证明：
；

（2）若
，求圆
的半径.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数）.

（1）求曲线
的直角坐标方程；

（2）曲线
的极坐标方程为
，求
与
的公共点的极坐标.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
的最大值为
.

（1）求
的值；

（2）若
，
，求
的最大值.

长春市普通高中2017届高三质量监测（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C

7. A 8. C 9. C 10. D 11. B 12. A

简答与提示：

【命题意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系.

【试题解析】B　题意可知，
，
，则
，对应的点在第二象限. 故选B.

【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.

【试题解析】C 由已知
，则
，故选C.

【命题意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、减、数乘、数量积运算.

【试题解析】D　由已知，
的边长为1，
，所以
，
，则
，因为
，故选D.

【命题意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.

【试题解析】C 由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为
，则由此估计总体中谷的含量约为
石. 故选C.

【命题意图】本题是对逻辑问题中的特称命题的否定进行考察.

【试题解析】B　由已知，命题的否定为
，
，故选B.

【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.

【试题解析】C　有已知，
，
，
，
，
，
，符合条件输出，故选C.

【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的基本量的求取.

【试题解析】A　由已知，
，
即
，且
为递减数列，则
.有
，故选A.

【命题意图】本题主要考查三视图的还原，还涉及体积的求取.

【试题解析】C 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为
，故选C.

【命题意图】本题主要考查相离两圆的公切线的相关知识.

【试题解析】C　由已知，直线
满足到原点的距离为
，到点
的距离为
，满足条件的直线
即为圆
和圆
的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C.

【命题意图】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述.

【试题解析】D 由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D.

【命题意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识.

【试题解析】B　由已知
，
，则
.又因为
，则
，即
.则渐近线方程为
，故选B.

【命题意图】本题是考查导数的几何意义，但因为函数隐含在里面，不容易分离出来.

【试题解析】A　因为
，则
，即
因为
，则
，即
. 要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为
，则
，有
，
，即过原点的切线方程为
. 最短距离为
. 故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.

14.
15.
16.

简答与提示：

【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.

【试题解析】常数项为
.

【命题意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法. 【试题解析】由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点
取最小值3.

【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系. 【试题解析】由已知，可将三棱锥
放入正方体中，其长宽高分别为
，则到面
距离最大的点应该在过球心且和面
垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则
. 则到面
距离的最大值为
.

【命题意图】本题通过三角形为背景考查归纳推理及数列的相关知识，对学生的逻辑推理能力提出很高要求，是一道较难题. 【试题解析】数列{an}构成以
为首项,以
为公比的等比数列,故
.

三、解答题

(本小题满分12分)

【命题意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，如正弦定理等.

【试题解析】(1) 由题可知

，

令
，
，即函数
的单调递增区间为
，
. （6分）

(2) 由
，所以
，解得
或
（舍）

因此