三明一中2016~2017学年第二次月考

高三理科数学

（总分150分，时间：120分钟）

选择题(本题12小题，每小题5分，共60分,每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中.)

1．设函数
若
，则
=（ ）

A．– 3 B．(3 C．– 1 D．(1

2．已知sinα＝，cosα＝－，且α为第二象限角，则m的允许值为(　　)

A.＜m＜6 B．－6＜m＜ C．m＝4 D．m＝4或m＝

3. 函数
的定义域为（ ）

A.(
,1) B. (
,∞) C.（1，+∞） D. (
,1)∪（1，+∞）

4. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 (　　)

A.海里/时 B．34海里/时 C.海里/时 D．34海里/时

5. 设函数f(x)＝
x－lnx(x>0)，则y＝f(x) (　　)

A.在区间(
,1)，(1，e)内均有零点；

B.在区间(
,1)，(1，e)内均无零点；

C.在区间(
,1)内有零点，在区间(1，e)内无零点；

D.在区间(
,1)，内无零点，在区间(1，e)内有零点。

6. 把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是 (　　)

A．1，
　　　 B．1，-
C．2，
　　　　D．2，-

给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （ ）

A. ①② B.②③ C.③④ D.①④

8. 函数
的值域为 (　 　)

A．
B．
C．
D．

9．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 (　　)

10. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，

则f(7)＝(　　)

A.－2 B.2 C.－98 D.98

11. 已知f(x)＝
，则下列函数的图象错误的是 (　　)

12. 定义在
上的偶函数
满足
，且
在
上是增函数，下面五个关于
的命题中：①
是周期函数；②
图像关于
对称；③
在
上是增函数；④
在
上为减函数；⑤
，正确命题的个数是 （ ）

A． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

填空题(本题4小题，每小题5分,共20分)

13. 弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为　　 　，面积为　　　　.

14. 曲线y ＝
与直线y ＝x，x ＝2所围成图形面积为　　　.

15. 函数
的单调增区间为 .

设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，

则m 的取值范围是　　　 .

解答题（共5题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分10分)

已知sin(π－α)＝，α∈(0，)．

(1)求sin2α－cos2的值；

(2)求函数f(x)＝cosαsin2x－cos2x的单调递增区间．

18. (本题满分12分)

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该

长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

19.(本题满分12分)

A、B是直线
图像的两个相邻交点，且

（I）求
的值；

（II）在锐角
中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若
的面积为
，求a的值.

20．(本题满分12分)

已知函数f (x) = 2cos2x-2sinxcosx + 1．

（1）设方程f (x) – 1 = 0在(0，
)内的两个零点x1，x2，求x1 + x2的值；

（2）把函数y = f (x)的图象向左平移m (m＞0)个单位使所得函数的图象关于点(0，2)对称，求m的最小值．

21． （本题满分12分）

已知函数
图像上点
处的切线方程与与直线
平行（其中
），

（I）求函数
的解析式；

（II）求函数
上的最小值；

（III）对一切
恒成立，求实数t的取值范围。

22. (本题满分12分)

已知函数
在点
处取得极值．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若关于
的方程
在区间
上有两个不等实根，求
的取值范围；

（Ⅲ）证明：对于任意的正整数
，不等式
都成立．

三明一中2016~2017学年第二次月考

高三理科数学

一．选择题：

1． D 2.C 3. A 4.A 5.D 6. D 7. B 8. C 9.D 10. A 11. D 12. C

二．填空题：

13. 4， 6π. 14.
15. (－∞，2) 16.

三．解答题：

17.解：∵sin(π－α)＝，∴sinα＝.又∵α∈(0，)，∴cosα＝.

(1)sin2α－cos2＝2sinαcosα－＝2××－5＝.

(2)f(x)＝×sin2x－cos2x＝sin(2x－)．

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.

∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋π]，k∈Z.

18.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.

故长方体的体积为

从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

19．解：（1）

…………2分

由函数的图象及
，

得到函数的周期
，解得
…………4分

（2）

…………6分

又
是锐角三角形，

即
…………8分

由
…………10分

由余弦定理，得

即
…………12分

20．解：（1）由题设得f (x) = –sin2x + 1 + cos2x + 1 =
………2分

∵f (x) – 1 = 0，∴
………………3分

由
．得
……5分

∵
…………………………6分

（2）设y = f (x)的图象向左平移m个单位，得到函数g (x)的图象，[

则
…………………………8分

∵y = g (x)的图象关于点(0，2)对称，∴
………………10分

∴

∵m＞0，∴当k = 0时，m取得最小值
． ………………………12分

21． 解：（I）由点
处的切线方程与直线
平行，得该切线斜率为2，即

又
所以
…………3分

（II）由（I）知
，显然
当

所以函数
上单调递减.当
时
，所以函数
上单调递增，

①