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高中数学难点解析 难点6 函数值域及求法 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. ●难点磁场 (★★★★★)设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+). (1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M. (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值. (3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. ●案例探究 ［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识. 错解分析：证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决. 技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决. 解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=代入上式得：S=5000+44 (8+),当8=,即λ=<1)时S取得最小值.此时高：x==88 cm,宽：λx=×88=55 cm. 如果λ∈［］可设≤λ1<λ2≤,则由S的表达式得： 又≥,故8－>0, ∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增. 从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值. 答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小. ［例2］已知函数f(x)=,x∈［1,+∞ (1)当a=时，求函数f(x)的最小值. (2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围. 命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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