2013年省重点高中自主招生测评

数学试题卷

时间：4月8日 时量：100分钟 满分：120分

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号码写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的准考证号码。

2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

3．考生在答题卡上作答的要求如下：

⑴选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时不留痕迹；

⑵非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；

⑶请勿折叠答题卡，并保持字体工整、笔迹清晰、卡面整洁。

4．本试题卷共6页。如缺页、漏印、字迹模糊，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

一．单项选择题（每小题4分，共32分）

1.当
，
时，
的图象经过 ( )

(A) 第1、2、3象限 (B) 第2、3、4象限　(C) 第1、2、4象限 (D) 第1、3、4象限

2. 某星球的体积约为6635421
，用科学计数法（保留三个有效数字）表示为

，则
（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

3.将长方体截去一个几何体，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为( )

4. 下列图形不一定相似的是（ ）

A．所有的矩形 B．所有的等腰直角三角形

C．所有的等边三角形 D．所有边数相等的正多边形

5. 如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与194个面积相等的小正方形。根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为10：9，则
（ ）

A．10：9 B．8：7

C．12：11 D．52：47

6. 如图所示，扇形
的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A.
B.

C.
D.

7. 一次函数
与二次函数
在同一坐标系中的图像可能是（ ）

A B C D

8. 如图，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ）

A．(4， 2) B．(2，4)

C．(，3) D．(2，2)

二、填空题（每小题4分，共32分）

9. 若α＞０且
＝２，
＝３，则
的值为

10. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．∠AOC＝
，则∠ACD= 。

11. 分解因式：
。

12. 如图，已知反比例函数：

在x轴上方的图象，则
的大小依次排列

为 。（从大到小排列）

13. 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾.试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数是 尾.

14.当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边

与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），

那么该圆的半径为 cm．

15. 观察下列各式：

你会发现什么规律？请将你想到的规律，用只含一个字母ｎ的式子表示出来．

。

16. 将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线交直线AB于点E，如果AB = 4，BE = 1，那么∠CAB的正切值是 ．

三、解答题（共56分）

17．（本小题满分10分）

先化简，再求值：
，其中
．

18．（本小题满分10分）

街头有这样的一个游戏;在不透明的箱子里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现知从中任意摸出一个是白球的概率为.

（1）试求袋中蓝球的个数.

（2）游戏规定：第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，两次摸到都是白球的就中特等奖。请用画树状图法，求中特等奖的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆。

求证：（1）AC是⊙D的切线；

（2）AB+EB=AC。

20．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，A（0，3），B（3，0），过B作直线
，一个动点N自OA的中点M出发，沿直线先到达x轴上的E点，再到直线BC上的F点，最后到达点A。

求多边形AMEF面积的最小值；

求使N点运动的总路径最短的E点、F点的坐标，并求出这个最短的总路径的长。

21．（本小题满分12分）

某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润
与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，(注：利润与投资量单位：万元)

(Ⅰ)分别将A、B两产品的利润
表示为投资量的函数关系式;

(Ⅱ)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，公司获得的总利润为万元。

问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

2013年省重点高中自主招生测评-----数学

参考答案

一．单项选择题（每小题4分，共32分）

1-8 DCDA DACB

二、填空题（每小题4分，共32分）

9.
10.
11.
12.

13. 25000 14.
15.

16.
或
(只填一个记2分，有一个填错不计分)

三、解答题（共56分）

17（本小题满分10分）

解：原式
…………………………………………（3分）

．…………………………………………（6分）

当
时，原式=
．……………（10分）

18（本小题满分10分）

解：⑴设蓝球个数为个 ，则由题意得
，

答：蓝球有1个 ……………………………………（3分）

（2）

…………（5分）

…………………（8分）

　∴　 两次摸到都是白球的概率 =
=
………………（9分）

答：中特等奖的概率为
。 …………………………………………（10分）

19（本小题满分12分）

证明：（1）过点D作DF⊥AC于F

∵AD是∠A的平分线，∴∠BAD=∠FAD

在△ADB与△ADF中，∠B=∠AFD=90°，∠BAD=∠FAD，AD=AD

∴△ADB≌△ADF ……………（3分）

∴DF=DB,DF是⊙D的半径，∴AC是⊙D 的切线……………（6分）

（2）在Rt△EDB与Rt△CDF中，DF=DB,DE=DC

∴Rt△EDB≌Rt△CDF ……………（10分）

∴EB=FC 又AB=AF，∴AC=AF+FC=AB+EB……………（12分）

20（本小题满分12分）

解： （1）由题设可知M的坐标是
，连接MF，

则多边形AMEF的面积=三角形AMF的面积+三角形MEF的面积

易知三角形AMF的面积=

当E，F重合时，MEF为一条线段，面积为0，

所以，多边形AMEF面积的最小值为
…………………（5分）

（2）取点M关于x轴的对称P，及点A关于对称轴BC的对称点Q ，则P
、

Q（6，3）。

当P，E，F，Q四点在一条直线上时，总路径最短。…………………（8分）

则直线PQ与 x轴的交点E、与对称轴BC的交点F为所求的点，其最短距离为线段PQ。

设直线PQ的解析式为

则有
，∴
，∴

当x＝3时，
；当 y＝0时，x＝2

∴ E（2，0），F（3，
） …………………（10分）

∵ AQ ＝6，AP ＝

∴ A'M' ＝
，即ME＋EF＋FA的最小距离为
。……（12分）

21（本小题满分12分）

解:(1)设投资x万元，A产品的利润为
万元，B产品的利润为万元。

由题意设
=k1x， =k2
，由图知当x=1。5时，
=0.3，∴k1=
.

又当x=9时，P=2.4,∴k2=
.从而W=
(x≥0),P=
(x≥0) ……………（5分）

(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10-x万元，设企业总利润为y万元.

y=W+P=
(0≤x≤10) ……………（8分）

令
=t，则y=
=-
(t-2)2+
(0≤t≤
) . ……………（10分）

当t=2时,ymax=
=2.8，此时x=4.

答:当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元……（12分）