时间：120分钟　　分值：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























一、选择题(每小题5分，共60分)

1．在△ABC中，a＝1，b＝，B＝120°，则A等于(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．120°

2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是(　　)

A．a＝1，b＝2，c＝3

B．a＝1，b＝，A＝30°

C．a＝1，b＝2，A＝100°

D．b＝c＝1，B＝45°

3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:2:4，那么cosC＝(　　)

A. B.

C．－ D．－

4．已知等差数列{an}中，an＝4n－3，则首项a1和公差d的值分别为(　　)

A．1,3 B．－3,4

C．1,4 D．1,2

5．已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项之积为Tn，若T5＝1，则必有(　　)

A．a1＝1 B．a3＝1

C．a4＝1 D．a5＝1

6．若△ABC中，a＝2bcosC，则该三角形一定为(　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

7．等比数列{an}的公比为，前n项的和为Sn，n∈N*如S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则其公比为(　　)

A．()2 B．()6

C. D.

8．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a2a9＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为(　　)

A．12 B．10

C．8 D．2＋log35

9．递减的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10，则欲使Sn取最大值，n的值为(　　)

A．10 B．7

C．9 D．7或8

10．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A．a＜v＜ B．v＝

C.＜v＜ D．v＝

11．设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)

A．8 B．4

C．1 D.

2



4







1



2











x













y













z



12.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．不等式≤x的解集是________．

14．如果关于x的不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，那么k的取值范围是________．

15．已知在△ABC中，A＝60°，最大边和最小边的长是方程3x2－27x＋32＝0的两实根，那么边BC的长为________．

16．等差数列{an}中，Sn是它的前n项之和，且S6S8，则①此数列的公差d<0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．

其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)

17．(10分)在△ABC中，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1.

(1)求角C的度数；(2)求c；(3)求△ABC的面积．

18．(12分)已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A测得正前方的河流上的桥梁两端B，C的俯角α，β，如果这时气球的高度是h，求桥梁BC的长度．



20．(12分)已知下列不等式①x2－4x＋3<0；②x2－6x＋8<0；③2x2－9x＋a<0.要使①②成立的x也满足③，请你找一个这样的a值．

21．(12分)等差数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足条件＝4，n＝1,2，…，

(1)求数列{an}的通项公式和Sn；

(2)记bn＝an·2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．

(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；

(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b(万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S＝＋为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取＝1.41)

天津市青光中学高一数学期中测试答案



(2)bn＝2an＝22n－1，

所以数列{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列．

∴Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1＝＝(4n－1)．

19解：过A作垂线AD交CB于D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝α，AB＝.

又在△ABC中，∠C＝β，∠BAC＝α－β，

由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝.



(2)由bn＝an·2n－1，得bn＝(2n－1)·2n－1.

所以Tn＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n－1)·2n－1，①

2Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，②

①－②得

－Tn＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n－1－(2n－1)·2n

＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n－1

＝－(2n－1)·2n－1.

所以Tn＝(2n－1)·2n＋1－(2n＋1－2)

＝(n－1)·2n＋1－2n＋3.

22解：(1)设片集甲、乙分别播放x，y集，则有



要使收视观众最多，则只要z＝60x＋20y最大即可．

如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)，

zmax＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．



(2)由题意得：2a＋4b＝1，

S＝＋＝(＋)(2a＋4b)

＝6＋＋≥6＋4＝11.64(万元)，当且仅当a＝，b＝时，取等号．

所以效益调和指数的最小值为11.64万元．