湖北武汉部分重点中学

2012—2013学年度下学期期中考试

高一数学理试题

命题人：洪山高中 孔凡祥 审题人：武汉中学 方玉林

考试时间：2013年4月19日下午2：00-4：00 本卷满分150分

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校填写在答题卡相应的位置上．

2．选择题作答：每小题选出答案后，将答案序号填在答题卡对应题号下面．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效，答在对应区域外或填错答题区域均无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
，则下列不等式：（1）
；（2）
；

（3）
；（4）
中恒成立的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．在
中,若
,则
的形状是（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

3．已知
，则函数
的最小值是 （ ）

A．5 B．4 C．8 D．6

4． 已知数列

，若

2)，则下列不等式中一定成立是（ ）

A．
B．
C．


D．

5．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )

A．60° B．30° C．120° D．150°

6．
中，
则此三角形解的情况是 ( )

A． 一个解 B． 两个解 C． 无解 D． 不能确定

7．某加工厂拟用某原料由甲车间加工出
产品，由乙车间加工出
产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克
产品，每千克
产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克
产品，每千克
产品获利50元．甲、乙两车间每天只能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（　　）． k#s5_u．

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱高

8．
是等腰直角
斜边
上的两个三等分点，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设
的内角
所对的边
成等比数列，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．若等差数列
满足：
，且其前
项和
有最大值．则当数列
的前
项和取最大值时，
的值为（ ）

A． 20 B． 21 C． 22 D． 23

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上．

11． 已知数列
的前
项和为
，则
= ．

12．函数
的最大值为 ．

13．已知两个等比数列
的前
项和分别为
，且满足
，则
．

14．已知
，
为
内一定点，且
点到边
的距离分别为1，2．则
点到顶点
的距离为 ．

15．已知
，且
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16（本小题满分12分） 若不等式
的解集是
．

（1）若
，求实数
的取值范围；

（2）若
，求不等式
的解集．

17． (本小题满分12分) 如图，要计算东湖岸边两景点
与
的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取
和
两点，现测得
，
，
，
，
，试求两景点
与
的距离．

18（本小题满分12分） 已知
是等差数列，其前
项和为
；数列
满足
，又
．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

19（本小题满分12分） 在
中，角
所对的边分别为
，且满足
． （1）求角
的大小； （2）现给出三个条件：①
；②
；③
．试从中选出两个可以确定
的条件，写出你的选项，并以此为依据求出
的面积（只需写出一个选定方案即可）．

20（本小题满分13分） 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙，地面利用原地面均不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，屋顶每平方米造价20元．

（1）仓库面积
的最大允许值是多少？

（2）为使面积
达到最大而实际投入又不超过预算，正面铁栅应设计为多长？

21．（本小题满分14分） 在数列
中，对于任意
，等式：
恒成立，其中常数
．

（1）求
的值； （2）求证：数列
为等比数列；

（3）如果关于
的不等式
的解集为
，试求实数
、
的取值范围．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

B

D

C

A

B

C

D

C



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
； 12．
； 13．
；

14．
； 15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16（本小题满分12分）

解：（1）∵
，∴
，∴
………5分

（2）∵
，∴
是方程
的两个根，

且
，∴由韦达定理得
∴
………8分

∴不等式
即为：

其解集为
． ………12分

17（本小题满分12分）

解：在
中，设
，

则
，

即
，

整理得：
,

解之：
，
（舍去），………………6分

由正弦定理，得：

,

∴
． ………12分

18（本小题满分12分）

解：（1）由
可得
为等比数列．设数列
的公差为
，数列
的公比为
，由题意得
，

解之得：
，从而
．………5分

（2）
①

①×
得：
②

①-②得：

………11分

………12分

19（本小题满分12分）

解：（1）由
代入正弦定理得：
，

即：
，又
，

．又
． ………6分

（2）方案1：选①②．

由正弦定理
得：
．

又
，
． ………12分

方案2：选①③．

由余弦定理
得：

∴
，从而

． ………12分

（选②③，这样的三角形不存在）

20（本小题满分13分）

解：（1）设铁栅长
米，侧墙宽
米，

则由题意得：
，………………… 3分

即
① （以上两处的“
”号写成“
”号不扣分）

由于
②，

由①②可得
，
，

所以
的最大允许值为100平分米．………………… 8分

（2）由（1）得当面积
达到最大而实际投入又不超过预算时，

有：
且
，从而
．

即正面铁栅应设计为15米长．………………… 12分

21（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）　因为
，

所以
，
，

解得
，
． ………………………… 3分

（Ⅱ）当
时，由
， ①

得
， ②

将①，②两式相减，得
,

化简，得
，其中
． ………………… 5分

因为
，所以
，其中
． …………………… 6分

因为
为常数，

所以数列
为等比数列． …………………… 8分

（Ⅲ）　　由（Ⅱ）得
， ……………………… 9分

所以
，

又因为
，所以原不等式可化简为
，………10分

（1） 当
时，不等式

，

由题意知，不等式
的解集为
，

因为函数
在
上单调递减，

所以只要求
且
即可，

解得
； …………………… 12分

（2）当
时，不等式

，

由题意，要求不等式
的解集为
，

因为
，

所以如果
时不等式成立，那么
时不等式也成立，

这与题意不符，舍去．

综上所述：
，
． ………………………… 14分