山东省临沂市沂水三中2012-2013学年高一6月月考 数学

2013年6月3日

本试卷共2页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
．

1．在
中，若向量
=（
），
=（
），则
=

A．
B．
C．
D．

2.
等于

A.
B.
C.

D.

3. 已知两个非零向量
，
满足
，则下面结论正确的是

A.
B.
C．
D.

4. 已知角
的终边上一点
（
），则
的值是

A.
B.
C.
或
D. 根据
确定

5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间
内的频数为

A．18 B．36 C．54 D．72

6. 圆
上的动点
到直线
的最小距离为

A．
B．

C．
D．

7．已知向量

满足
，且
，
，则
与
的夹角为

A．
B．
C．
D．

8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683[来源:学科网ZXXK]

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为

A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

9．函数
，则下列关于它的图象的说法不正确的是

A．关于点
对称 B．关于点
对 C．关于直线
对称 D．关于直线
对称

10．下列函数中，周期为
，且在
上为减函数的是

A．
B．
C．
D.
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

11．如果函数
在区间
的最小值为
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

12．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为

，把一枚半径为

的硬币

任意平掷在这个平面上
，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是

A.
B.
C．
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；

2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用钢笔或圆珠笔答在答题卡指定的位置上．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在答题纸的横线上．

13．某林场有树苗30?000棵，其中松树苗4?000棵. 为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的

数量为 .

14．已知向量
夹角为
，且
，则

15．如右下图是一个算法的程序框图，最后输出的

.

16已知
，
，
，
，则
的值是

三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）化简函数
的解析式，并求定义域；（Ⅱ）若
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

设向量
,
的夹角为
且︱
︱=︱
︱=
，如果
，
，
.

（Ⅰ）证明：A、B、D三点共线；

（Ⅱ）试确定实数
的值，使
的取值满足向量
与向量

垂直.

19.（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见右表：

某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．

（Ⅰ）分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数， 甲 乙

并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；

（Ⅱ）若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取两天的数据，

求恰有一天空气质量超

PM2.5日均值
（微克）

空气质量等级





一级





二级





超标



标的概率．

[来源:学科网ZXXK]

20、（本小题满分12分）已知向量
，
，

，

(1)求证：
⊥
； (2)
，求
的值。

21.（本小题满分12分）

已知函数
=
（
），直线
，
是
图象的任意两条对称轴，且
的最小值为
．

（Ⅰ）求
的
表达式；

（Ⅱ）将函数
的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图象.若关于
的方程
，在区间
上有且只有一个实数解，求实数
的取值范围.

高一六月份考试数学试题

参考答案及评分标准

由题意
，
，

其定义域为
．-------------8分

（Ⅱ）
，
，-------------10分

．-------------12分

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
,----------3分

∴
即
共线，

∴
三点共线. ----------6分

（Ⅱ）∵
，

∴
，

，---------8分

, ---------10分

解得
.----------12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）甲居民区抽测样本数据分别是37,45,73,78,88；乙居民区抽测的样本数据分别是32,48,67,65,80. -------------1分

-------------3分

-------------5分

则

由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．-------------6分

（Ⅱ）由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标，有2天空气质量超标．

----------- ----------- -----------8分

记未超标的3天样本数据为
，超标的两天为
，则从5天中抽取2天的所有情况为：

，基本事件数为10．

-----------------10分

记“5天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件
，可能结果为：



，基本事件数为6．

--------------12分

20. ①(略);

②

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） f（x）
，---------------------------3分

由题意知，最小正周期
，
，所以
，[来源:学*科*网]

∴
. ----------------6分

（Ⅱ）将
的图象向右平移个
个单位后，得到
的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到
的图象.

　所以
-------------------------9分

令
，∵
,∴
，-----------------------10分

，在区间
上有且只有一个实数解，即函数
与
在区间
上有且只有一个交点，-------------------------11分

由正弦函数的图像可知
或
，

∴
或
.
------------12分

22.（
本小题满分14分）

解：(Ⅰ)设圆心

,则
,解得
，………………2分

则圆
的方程
为
,将点
的坐标代入得
,

故圆
的方程为
. ………………4分

(Ⅱ)当切线的斜率存在时，设切线方程为
，则

，解得
，

所以切线方程为
，………………7分

当切线的斜率不存在时，切线方程为
，………………8分

所以切线的方程为
或
．………………9分

(Ⅲ)由题意知, 直线
和直线
的斜率存在，且互为相反数，

则直线
的方
程为：
，直线
的方程为：
，

由
， 得
，……10分

因为点
的横坐标
一定是该方程的解,故可得
，

同理，
, …………………12分

所以
=

，

所以，直线
和
一定平行．……………………………………14分