大足中学2012～2013学年度下学期高2014级第3次月考

数 学 (理科)试 题

命题人：何德茂 审题人：王国斌 制卷人：何德茂

一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i是虚数单位，则
＝（ ）.

A.1－2i B.2－i C.2＋i D.1＋2i

2.由
这5个数字，组成无重复数字的三位数中，其中是2的倍数的有（ ）个。

A.60 B.40 C.36 D.30

3.计算
（ ）

A.
B.5 C.
D.

4.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A.在数列
中
，由此得出
的通项公式.

B.大足中学高一一班有63人，二班65人，三班62人，由此得高一所有班人数都超过60人.

C.两条直线平行，内错角相等，如果
与
是两条平行直线的内错角，则
=
.

D.由平面内正三角形的性质，推知空间正四面体的性质.

5.已知
的二项展开式的各项系数和为
，则二项展开式中
的系数为（ ）

A．
　 B.
C．
D.

6.用数学归纳法证明命题时，某命题左式为
，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加的项为 ( )

A．
B．

C．
D．

7.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为
，则方程
有实根的概率为（ ）

A.
B.
C.
D .

8.方程
的实根的个数是（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

9.下列图像中有一个是函数

的导数
的图像，则
（ ）

A.
B.
C.
D.
或

10．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ）

A.a=210 ， p=
B.a=105 ， p=
C.a=210 ， p=
D. a=105 ， p=

二 填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相应的位置上.

11.已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
．

12.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．

在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率是 .

13.用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数
与所搭三角形的个数
之间的关系式可以是 .

14.设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处切线的斜率为

15. 若将函数
表示为
， 其中
，
，
，…，
为实数，则
＝______________．

三 解答题:本大题共6小题,共75分,写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.（13分）已知函数
在点
处取得极值
.

（1）求
的值；

（2）若
有极大值28，求
在
上的最小值.

17.（13分）在长为12cm的线段
上任取一点
.现作一矩形，邻边长分别等于线段
的长，求该矩形面积小于32
的概率.

18.（13分）计算:

（1）设
，
（
为虚数单位），求
的值.

（2）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有m种.求m的值.

19.(12分) 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．

（1）求X的分布列；

（2）求X的数学期望E(X)．

20.(12分) 今有标号为1,2,3,4,5的五个信封，另有同样标号的五封信.现将五封信任意装入五个信封，每个信封装入一封信，求至少有两封信和信封标号相同的概率.

21.(12分)已知函数
为奇函数,且
在
处取得极大值2.

（1）求函数
的解析式；

（2）记
，求函数
的单调区间；

（3）在（2）的条件下，当
时，若函数
的图像在直线
的下方，求
的取值范围．

大足中学2012～2013学年度下学期高2014级第3次月考

数学（理科）试题参考答案

一 选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1.---5. DCACB 6.---10. BDBBD

二 填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．3 12．
13．
14．4 15．10

三 解答题：（本大题共6个小题，共75分）

16.（本小题满分13分）已知函数
在点
处取得极值
.

（1）求
的值；

（2）若
有极大值28，求
在
上的最小值.

解：（1）因为
，故
.……………… 1分

由于
在点
处取得极值
，

故有
即
化简得
……………… 3分

解得
经检验，a=1,b=-12 适合题意，所以a=1,b=-12. ……………… 4分

（2）由（1）知
，……………… 5分

，……………… 6分

令
，得
.……………… 7分

当
时，
，故
在
上为增函数；

当
时，
，故
在
上为减函数；

当
时，
，故
在
上为增函数. ……………… 10分

由此可知
在
处取得极大值
，
在
处取得极小值
.

由题设条件知
，得
.……………… 11分

此时
，
，
，……………… 12分

因此
在
上的最小值为
.……………… 13分

17.（本小题满分13分）在长为12cm的线段
上任取一点
.现作一矩形，邻边长分别等于线段
的长，则该矩形面积小于32
的概率为

提示：设
，则
，矩形的面积
，解得
，故由几何概型可得所求事件的概率为
=
.……… 13分

18．（本小题满分13分）(1)设
，
（
为虚数单位），求
的值.

提示：∵
，……………… 4分

∴
，
.……………… 7分

(2)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有m种.求m的值.

提示：分三类计算，则符合题意的取法共有

m=
(种). ……………… 13分

19.（本小题满分12分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．

（1）求X的分布列；

（2）求X的数学期望E(X)．

解：（1）由题意得，X的所有可能取值为3，4，5，6．……………… 2分

则
，
，

，
．……………… 6分

故所求X的分布列为

X

3

4

5

6



P











……………… 9分

（2）所求X的数学期望

E(X)=
． ……………… 12分

20.（本小题满分12分）今有标号为1,2,3,4,5的五个信封，另有同样标号的五封信。现将五封信任意装入五个信封，每个信封装入一封信，求至少有两封信和信封标号相同的概率。

解：五封信任意装入五个信封的装法总数为
种。……………… 2分

恰有两封信和信封标号相同的概率为
……………… 5分

恰有三封信和信封标号相同的概率为
………………8分

若有四封信和信封标号相同则第五封也必然相同，其概率为
……………… 11分

故，所求概率为
。……………… 12分

21.（本小题满分12分）已知函数
为奇函数，且
在
处取得极大值2.

（1）求函数
的解析式；

（2）记
，求函数
的单调区间；

（③）在（2）的条件下，当
时，若函数
的图像在直线
的下方，求
的取值范围。

解析：（1）由
（
≠0）为奇函数，

∴
，代入得，
1分

∴
，且
在
取得极大值2.

∴
3分 解得
，
，经检验，a=-1,c=3 适合题意，∴
4分

（2）∵
，(x>0)

∴
5分

因为函数定义域为（0，+∞），所以


得
，
（舍去）.

由函数
定义域为（0，+∞），

则当
时，
，当
时
，

∴当
时，函数
取得最大值1-
,则1-m<0.

故
的取值范围是（1，+∞）。答

也正确. 12分