2012—2013学年度第二学期高一数学期末试卷

2013．6

（满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

求值
▲ ．

已知直线
与
平行，则实数
的取值是 ▲ ．

在
中，若
，则
▲ ．

直线
在两坐标轴上的截距之和为 ▲ ．

已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则公差
等于 ▲ ．

若
，则
的最小值为 ▲ ．

若数列
满足
，则
▲ ．

若实数
满足
，则
的最大值是 ▲ ．

若sin
，则
▲ ．

光线从A(1，0)出发经y轴反射后到达圆
所走过的最短路程

为 ▲ ．

函数
的最小值是 ▲ ．

在
中，内角
所对的边分别为
，给出下列结论：

①若
，则
；

②若
，则
为等边三角形；

③必存在
，使
成立；

④若
，则
必有两解．

其中，结论正确的编号为 ▲ （写出所有正确结论的编号）．

平面直角坐标系中，
为坐标原点，
是直线
上的动点，过点
作
的垂线与以
为直径的圆
交于点
．则
满足的关系式为 ▲ ．

已知等比数列
中
，
，在
与
两项之间依次插入
个正整数，得到数列
，即：
．则数列
的前
项之和
▲ (用数字作答)．

二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知二次函数
图像的顶点是（—1，3），又
，一次函数
的图像过（—2，0）和（0，2）。

（1）求函数
和函数
的解析式；

（2）求关于
的不等式
的解集；

16．（本题满分14分）

已知
．

（1）求
的值；

（2）求
的值．

17．（本题满分15分）

若等比数列
的前n项和
．

（1）求实数
的值；

（2）求数列
的前n项和
．

18．（本题满分15分）

如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔
，设
延长线与海平面交于点O．测量船在点O的正东方向点
处，测得塔顶
的仰角为
，然后测量船沿
方向航行至
处，当
米时，测得塔顶
的仰角为
．

（1）求信号塔顶
到海平面的距离
；

（2）已知
米，测量船在沿

方向航行的过程中，设
，则当
为何值时，使得在点
处观测信号塔
的视角
最大．

19．（本题满分16分）

已知圆
与直线
相切．

（1）求圆
的方程；

（2）过点
的直线
截圆所得弦长为
，

求直线
的方程；

（3）设圆
与
轴的负半轴的交点为
，过点
作两条斜率

分别为
，
的直线交圆
于
两点，且
，

试证明直线
恒过一个定点，并求出该定点坐标．

20．（本题满分16分）

设数列
的前
项和为
，对任意
都有
成立．

（1）求数列
的前n项和
；

（2）记数列
，其前n项和为
．

①若数列
的最小值为
，求实数
的取值范围；

②若数列
中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”
，使得对任意
，都有
，且
．若存在，求实数
的所有取值；若不存在，请说明理由．

高一数学期末试卷参考答案 2013．6

一、填空题

1.
2．-1 3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.
10. 4

11.
12. ①④ 13.
14. 2007050

二、解答题

15．解：（Ⅰ）设
，∵
，解得

∴函数解析式为
， ………………………………… 4分

又
，∴
……………………………………… 8分

（Ⅱ）由
得

或
………… 13分

∴不等式
的解集为
…………………………… 14分

16⑴由条件
得
； ………6分

⑵因为
，所以
， ………8分

因为
，所以
， ………9分

又
，所以
， ………11分

所以
．……14分

17⑴当n=1时，
………2分

当
时，

………5分

则
； ………7分

⑵
，则
① ………10分

② ………11分

②-①得：
． ………15分

18⑴由题意知，在
中，
， ………2分

所以
，得
， …5分

在直角
中，
，所以
（米）； ………7分

⑵设
，由⑴知，
米，

则
， ………9分

，……11分

所以
， ………13分

当且仅当
即
亦即
时，

取得最大值， ………14分

此时点
处观测信号塔
的视角
最大． ………15分

19⑴由题意知，
，所以圆
的方程为
； ………4分

⑵若直线
的斜率不存在，直线
为
，此时直线
截圆所得弦长为
，符合题意， ………5分

若直线
的斜率存在，设直线为
，即
，

由题意知，圆心到直线的距离为
，所以
，

则直线
为
． ………7分

所以所求的直线为
或
． ………8分

⑶由题意知，
，设直线
，

则
，得
，所以
，

所以
，
，即
………11分

因为
，用
代替
，得
， ………12分

所以直线
为
………14分

即
，得
，

所以直线
恒过定点
． ………16分

20⑴法一：由
得：
①，
②，

②-①得

由题知
得
， ………2分

又

得
； ………4分

法二：由
得：
得

时
得
即
所以
； ………4分

⑵①由
最小值为
即

则
；………8分

②因为
是“封闭数列”，设
（
，且任意两个不相等 ）得

，则
为奇数……9分

由任意
，都有
，且

得
，即
的可能值为1,3,5,7,9， ………11分

又
>0， 因为
………12分

检验得满足条件的
=3,5,7,9， ………15分

即存在这样的“封闭数列”
，使得对任意
，都有
，

且
，

所以实数
的所有取值集合为
． ………16分