=

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．圆锥侧面积为全面积的
，则圆锥的侧面展开图圆心角等于 （ ）

A．
B．π C．2π D．以上都不对

2. 已知等比数列
中，
，数列
是等差数列，且
，则

（ ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

3．
中，角
所对的边分别为
，
，
，则
的最大值为 （ ）

A．15 B．13 C．
D．20

4．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为

5．从正方体的
条棱中选出
条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则
的最大值是 ( )

A． B． C．
D．

6．已知
，且
，函数
只有一个零点，则
与
的夹角为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7． 已知数列
的前n项和
满足：
，且
，那么
（ ）

A．1 B．9 C．10 D．55

8．
，且
，则
（ ）

A． 5 B． 8 C． 7 D． 6

9. 等腰三角形
中，
边中线上任意一点，

则
的值为 （ ）

A．
B．
C．5 D．

10．已知
的最小值是 （ ）

A．2 B．2
C．4 D．2

11．三个共面且不共线向量
,
,
两两所成的角相等，且|
|=1,|
|=2，|
|=3，则|
|等于 （ ）

A．
B． 6 C．
或6 D．3或6

12．实数
满足
，设
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．
可正可负

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．正方体的内切球与外接球的表面积的比为

14．在
中角
的对边分别为
，已知
，则

15．在正
中，是
边上的点，若
则

16．已知数列中
，数列
的前项和为
，当整数
时，
都成立，则数列
的前n项和为

三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤）

17．如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别

是BC、AD上的点，并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=
，

求AB和CD所成角的大小.(8分)

18．已知数列
的前项和为
，. 且
为常数。

（1）若
，求证：数列
为等比数列；（5分）

（2）若
，数列
前项和为
，当取何值时
取最小值，并求
的最小值．（5分）

19．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图
所示，墩的上半部分是正四棱锥
，下半部分是长方体
.图
分别是该标识墩的正视图和俯视图.

（1）求该安全标识墩的体积；（6分）（2）求该安全标识墩的表面积.（6分）

20． 在
中，已知
.

（1）求角的大小；（6分）

（2）若
,
，试求
的最小值.（6分）

21．已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角，，
所对的边分别是，
，.

（1）若、
、依次成等差数列，且公差为2，求的值；（6分）

（2）若
，
，试用
表示
的周长，并求周长的最大值．

（6分）

22．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金
万元，以后每年投入比上年减少
.本年度旅游业收入
万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业的收入每年比上一年增加
.

（1）设年内（本年度为第一年）总投入为
万元，旅游业总收入为
万元，写出
和
的表达式；（6分）

（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（注：取
（6分）

长春市十一高中2012-2013年度高一下学期期中考试

数学答案（文科）

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

D

A

C

A

D

A

C

A

B





填空题

13、1：3 14、
15、
16、

解答题

17、解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，

连结EG、FG，在△BCD中，∵
∴EG∥CD

同理FG∥AB

∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角. （4分）

在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2

∴EG=1

在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3

∴FG=2

在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=
，由余弦定理，得

∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°.（8分）

18、解：

时
≥2时

……2分
……3分 ∴

∴数列
是公比为2 的等比数列……5分

（2）若
，
，但

∴数列
从第二项起是等比数列。

∴
……7分

∴数列
为等差数列，且
≥6时，
……9分

∴当
时，
取最小值，最小值为－10……10分

19、解：（1）该安全标识墩的体积为

=
=32000+32000=64000
……5分

∴该安全标识墩的体积为64000
……6分

（2）该安全标识墩的表面积为正四棱锥的侧面积加上正四棱锥的侧面积及一个底面积。

正四棱锥的侧面积
=40×20×4=3200，底面积
=40×40=1600

正四棱锥的侧面等腰三角形的高

∴四棱锥侧面积
……11分

∴安全标识墩的表面积
……12分

20、解（1）

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

．．．．．．．．．．． 5 分

．．．．．．．．．．．．6分

（2）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

．．．．．9分

又由
得
从而
．．．．．．．．．．．．．．．．10分

．．．． 12分

21、解：（Ⅰ）、
、成等差，且公差为2，
、
.

又
，
，
， ……3分

， 得
，解得
或
.

又
，
. ……6分

（Ⅱ）在
中，
，

，
，
.

的周长

，……10分

又
，
,

当
即
时，
取得最大值
． ……12分

22、解：（1）由已知，各年投入成首项为800，公比为
的等比数列。

∴年内总投入
＝
=4000
……3分

旅游业各年收入成首项为400，公比为
的等比数列，

∴年内总投入
＝
=1600
……6分

（2）设至少年旅游业总收入超过总投入，即
>

∴1600
>4000

……9分

设
，则
即

∴
……11分

答：至少经过5年，旅游业的总收入能超过总投入。