一、选择题（每小题4分，共48分）

1．圆锥侧面积为全面积的
，则圆锥的侧面展开图圆心角等于 （ ）

A．
B．π C．2π D．以上都不对

2. 已知等比数列
中，
，数列
是等差数列，且
，则

（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

3．
中，角
所对的边分别为
，
，
，则
的最大值为 （ ）

A．15 B．13 C．
D．20

4.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为

（ ）

A B C D

5.从正方体的棱和各个面的面对角线中选出
条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则
的最大值是 （ ）

A．
B． C．
D．

6.已知
，且
，函数
只有一个零点，则
与
的夹角为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7． 已知数列
的前n项和
满足：
，且
．那么
（ ）

A．1 B．9 C．10 D．55

8.
，且
，则
（ ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

9. 等腰三角形
中，
,
边中线上任意一点，

则
的值为 （ ）

A.
B.
C. 5 D.

10.设正实数a，b满足等式
恒成立，则实数t的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
　 D.

11.三个共面向量
,
,
两两所成的角相等，且|
|=1,|
|=2，|
|=3，则|
|等于 （ ）

A.
B. 6 C.
或6 D. 3或6

12. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=
，
，则棱锥S—ABC的体积为 （ ）

A．
B.
C.
D. 1

二、填空题（每小题4分，共16分）

13.正方体的内切球与外接球的表面积的比为 ．

14．在
中，已知
，则
．

15.设
，其中
成公比为q的等比数列，
成公差为1的等差数列，则
的最小值是________.

16．已知
为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的伴随向量，同时称函数
为向量
的伴随函数．记
的伴随函数为
，则使得关于的方程
在
内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围是 ．

三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤）

17．如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，

E、F分别是BC、AD上的点，

并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=
，求AB

和CD所成角的大小.（8分）

18．已知数列
的前项和为
，且
.为常数。

(1)若数列
为等比数列，求的值；（5分）

(2)若
，数列
前项和为
，当且仅当
时
取最小值，求实数的取值范围．（5分）

19．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图
所示，墩的上半部分是正四棱锥
，下半部分是长方体
.图
分别是该标识墩的正视图和俯视图。（1）求该安全标识墩的体积；（6分）（2）求该安全标识墩的表面积。（6分）

20．在
中，已知
。

（1）求角的大小；（6分）

（2）若
,
，试求
的最小值.（6分）

21．已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角，，
所对的边分别是，
，.

（1）若、
、依次成等差数列，且公差为2．求的值；（6分）

（2）若
，
，试用
表示
的周长，并求周长的最大值．

（6分）

22已知函数
，

设
，
，且
.

（1）求
；（6分）

（2）已知
，
，数列
的前项和为
，若
对一切
都成立，求
的取值范围. （6分）

长春市十一高中2012-2013年度高一下学期期中考试

数学答案（理科）

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

D

B

C

A

D

A

D

C

C





填空题

13、1：3 14、
15、3 16、

解答题

17、解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，

连结EG、FG，在△BCD中，∵
∴EG∥CD

同理FG∥AB

∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角.（4分）

在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2

∴EG=1

在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3

∴FG=2

在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=
，由余弦定理，得

7分

∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°. ……8分

18、解：


3分

,

数列
为等比数列,
，
………………5分

，

成等比数列，
,
…… 8分

数列
前项和为
，
时
取最小值,

可得
,

……………………10分

19、解：（1）该安全标识墩的体积为

=
=32000+32000=64000
……5分

∴该安全标识墩的体积为64000
……6分

（2）该安全标识墩的表面积为正四棱锥的侧面积加上正四棱锥的侧面积及一个底面积。

正四棱锥的侧面积
=40×20×4=3200，底面积
=40×40=1600

正四棱锥的侧面等腰三角形的高

∴四棱锥侧面积
……11分

∴安全标识墩的表面积
……12分

20、解（1）

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

．．6分

（2）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

．．．．．9分

又由
得

从而
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

．．．．．．．．．．．．．．．12分

21、解：（Ⅰ）、
、成等差，且公差为2，
、
.

又
，
，
， …………3分

， 得
，解得
或
.

又
，
. ……………………………………………………6分

（Ⅱ）在
中，
，

，
，
.

的周长

，……………………………10分

又
，
,

当
即
时，
取得最大值
． ……………………12分

22、解：（1）易证

又∵
时，
①

②

①＋②得
∴
6分

（方法一）令

又∵

∴
时，即
时，

∴
12分

（方法二）
8分

其中
∴
12分