高一下学期期末考试数学试题

一、填空题

1．一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点
为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是
，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。

2．已知函数
的导数为
,则
= 。

3．在棱长为3的正四面体ABCD中,点E是线段AB上一点,且AE=1, 点F是线段AD上一点,且AF=2,则异面直线DE与CF的夹角的余弦为 ．

4．若向量
，
，其中
和
不共线，
与
共线，则
.

5．已知曲线方程
，若对任意实数
，直线
都不是曲线
的切线，则
的取值范围是 .

6．在
中，若
，则
外接圆半径
．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为
，则其外接球的半径
=

7．已知半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则
的值是 。

8．执行如图（2）所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为__________________.

9．设
，则
的最小值是

10．如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，由此图可以知道：

（1）样本数据落在范围
的频率为＿＿＿；

（2）样本数据落在范围
的频数为＿＿＿．

11．若
为等差数列
中的第8项，则二项式
展开式中常数项是第 项

12．定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为? ．

13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 。

14．函数
在
上有最大值3，那么此函数在
上的最小值为_____

二、解答题

15．（本题满分12分）

已知定义域为
的函数
是奇函数。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）解不等式

16．如图，平面

平面
，
，
，△
是正三角形，则二面角
的平面角的正切值为多少．

17．已知函数
．

（1）若
，求函数
的最大值．

（2）若
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围

18．已知点列
满足：
，其中
，又已知
，
．

（I）若
，求
的表达式；

（II）已知点B
，记
，且
成立，试求a的取值范围；

（III）设（2）中的数列
的前n项和为
，试求：
。

19．（本小题满分16分）

已知
为实数，函数
，函数
，

令函数
．

⑴若
，求函数
的极小值；

⑵当
时，解不等式
；

⑶当
时，求函数
的单调区间．

20．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且

(1)判断△ABC的形状；

(2)若
，求边c的值.

参考答案

【解析】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确，但出现在高考试题或者模拟试题中类比推理，不会设计成漫无目标的类比推理试题，而是设计成指向性很强的、能得到正确结论的类比问题。考生在解答这类试题时，一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用，不要被表面现象所迷惑。三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球，与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相同的，这个长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。

解：作一个在同一个顶点处棱长分别为
的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是
，故这个长方体的外接球的半径是
，这也是所求的三棱锥的外接球的半径。

17．易见
的定义域为
．
．………………………1分

（1）当
时，
，

令
0，得
或
（舍去）．……………………………………………………3分

列表：











+

0







↗

最大值：

↘



故函数
的最大值为
．………………………………………………………6分

（2）令
，即
，
．

∵
，∴
．

∵
在定义域内为增函数，∴
在
恒成立．……………7分

即
．…………………………9分

当
时，
，

当
时，取得
．

故

18．（1）
（2）
（3）见解析

【解析】第一问利用∵
，
，∴
∴
，∴
，∴

19．

(1)

(2)

(3)

20．（1）等腰三角形（2）2

(1)∵

∴
………………………………………2分

∴2RsinBcosA=2RsinAcosB …………………………………………………4分

∴tanA=tanB

∴△ABC为等腰三角形 ………………………………………………………6分