2013高一数学暑假作业（三）

一、选择题，下列每题所给的四个选项中，只有一项是正确的。

1.直线
在
轴上的截距是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．直线
，当
变动时，所有直线都通过定点（ ）

A．
B．
C．
D．

3．过点
且垂直于直线
的直线方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知
，则直线
通过（ ）

A．第一、二、三象 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

5．已知点
，若直线
过点
与线段
相交，则直线
的

斜率
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

6．已知a、b、c是三条不重合直线，(、(、(是三个不重合的平面，下列命题：

⑴a∥c，b∥c
a∥b；⑵a∥(，b∥(
a∥b；⑶c∥(，c∥(
(∥(；⑷(∥(，(∥(
(∥(；⑸a∥c，(∥c
a∥(；⑹a∥(，(∥(
a∥(。其中正确的命题是 。

7．三平面两两垂直，他们的三条交线交于点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP= 。

8．若棱锥底面面积为
，平行于底面的截面面积是
，底面和这个截面的距离是
，则棱锥的高为 。

9．正四棱柱的底面边长为
，高为
，一蚂蚁从顶点
出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点
，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 。

10．若
的中点
到平面
的距离为
，点
到平面
的距离为
，则点
到平面
的距离为 _____
。

11．已知正方体ABCD－
，则该正方体的体积、四棱锥
-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为 ____。

12．若曲线
与直线
始终有交点，则
的取值范围是___________.

13．如果实数
满足等式
，那么
的最大值是________.

14．直线
被曲线
所截得的弦长等于 .

15．对于任意实数
，直线
与圆
的

位置关系是_________.

三、运算题

16．如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，

且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD上（不含C, D两点）

（1）求多面体ABCDE的体积；

（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD；

（3）当
的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。

17.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是
，经过点A（８,－2）；

(2)经过点B(４,2），平行于
轴；

(3)在
轴和
轴上的截距分别是
、－3；

(4)经过两点

18．已知圆C:
及直线
.

（1）证明:不论
取什么实数,直线
与圆C恒相交；

（2）求直线
与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线
的方程

19．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

2013高一数学暑假作业（三）

一、选择题

1—5．BCACD

二、填空题

6．⑴、⑷ 7．
8．30cm 9．
10．2或14 11．

12．
13．
14．
15．相切或相交

三、运算题

16．解：(1)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．

又BD∥AE，所以BD与AE共面．又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．

所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．

故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝SABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．

(2)取BC中点G，连FG，AG．因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．

又AG(面ABC，所以BD⊥AG．

又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG
平面BCD．

又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．

又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．

（3）
=2（证明过程略）。

17．解：(1)由点斜式得
化成一般式得

(2)由斜截式得
＝2，化成一般式得
－2＝0

(3)由截距式得
，化成一般式得

(4)由两点式得
，化成一般式得

18．解:(1)直线方程
,可以改写为
,所以直线必经过直线
的交点.由方程组
解得
即两直线的交点为A
又因为点
与圆心
的距离
,所以该点在
内,故不论
取什么实数,直线
与圆C恒相交.

(2) 连接
,过
作
的垂线,此时的直线与圆
相交于
、
.
为直线被圆所截得的最短弦长.此时,
.即最短弦长为
.又直线
的斜率
,所以直线
的斜率为2.此时直线方程

为:

19．解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为
① 轮船航线所在直线l的方程为
，即
② 如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．由于圆心O（0，0）到直线l的距离
，

所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．